Bank Soal Matematika SMA Tafsiran Geometri dari Kedudukan Vektor

Diketahui:

Segitiga $PQR$ dengan titik $S$ berada pada garis $PR$ dan titik $T$ berada pada garis $RQ$. Diketahui pula $\left|\overrightarrow{PS}\right|:\left|\overrightarrow{SR}\right|=2:1$ dan $\left|\overrightarrow{RT}\right|:\left|\overrightarrow{TQ}\right|=4:1$ serta $\overrightarrow{QP}=\vec{u}$ dan $\overrightarrow{QR}=\vec{v}$

Ditanya:

$\overrightarrow{ST}$ sama dengan ?

Jawab:

Perhatikan ilustrasi berikut!

Secara umum penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan menempatkan titik awal suatu vektor (misal $\overrightarrow{QR}$) ke titik ujung vektor yang lain (misal $\overrightarrow{PQ}$), diperoleh

$\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$

Perlu diingat bahwa untuk sembarang titik $A$ dan $B$ serta $C$ titik tengah garis $AB$ berlaku

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

dan untuk titik $D$ yang membagi $AB$ dengan perbandingan $AD:DB=m:n$ berlaku

$\overrightarrow{AD}=\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{DB}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{AB}$

Diperoleh

$\overrightarrow{ST}=\overrightarrow{SR}+\overrightarrow{RT}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{ST}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PR}+\frac{4}{5}\overrightarrow{RQ}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{ST}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}\right)+\frac{4}{5}\overrightarrow{RQ}$

Perlu diingat untuk skalar $k=-1$ dan vektor $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$, maka $k\vec{v}=-\overrightarrow{AB}$ dan memiliki panjang $\left|-1\right|=1$ kali panjang $\overrightarrow{AB}$ (panjangnya sama) serta arahnya berlawanan dengan vektor $\overrightarrow{AB}$ (sebab $-1<0$). Oleh karena itu vektor $-\overrightarrow{AB}$ memiliki titik awal $B$ dan titik ujung $A$ atau dapat ditulis sebagai vektor $\overrightarrow{BA}$.

Diperoleh

$\overrightarrow{ST}=\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{QR}\right)-\frac{4}{5}\overrightarrow{QR}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{ST}=\frac{1}{3}\left(-\vec{u}+\vec{v}\right)-\frac{4}{5}\vec{v}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{ST}=-\frac{1}{3}\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{v}-\frac{4}{5}\vec{v}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{ST}=-\frac{1}{3}\vec{u}+\frac{5-12}{15}\vec{v}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{ST}=-\frac{1}{3}\vec{u}-\frac{7}{15}\vec{v}$