Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Kurva $g(x)=3\cos x+2\sec x$

Ditanya:

Gradien garis singgung kurva $g(x)=3\cos x+2\sec x$ di absis $x=45\degree$ ?

Jawab:

Nilai kemiringan / gradien garis singgung suatu kurva $f\left(x\right)$ dapat dicari menggunakan turunan yaitu

$m=f'\left(x\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=\sec x$ turunannya adalah $y'=\sec x\tan x$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Dengan demikian, akan dicari turunan pertama dari kurva $g(x)=3\cos x+2\sec x$

Kurva yang diketahui pada soal berbentuk $g(x)=g_1\left(x\right)+g_2\left(x\right)$ dengan $g_1\left(x\right)=3\cos x$ dan $g_2\left(x\right)=2\sec x$

Diperoleh

$g_1'\left(x\right)=-3\sin x$

$g_2'\left(x\right)=2\sec x\tan x$

$g'(x)=g_1'\left(x\right)+g_2'\left(x\right)$

$\Leftrightarrow g'(x)=-3\sin x+2\sec x\tan x$

Selanjutnya gradien garis singgung kurva $g(x)=3\cos x+2\sec x$ di absis $x=45\degree$ adalah

$m=g'(45\degree)=-3\sin (45\degree)+2\sec (45\degree)\tan (45\degree)$

$\Leftrightarrow m=-3(\frac{1}{2}\sqrt2)+2(\frac{1}{\cos(45\degree)}).1$

$\Leftrightarrow m=\frac{-3}{2}\sqrt2+2(\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt2})$

$\Leftrightarrow m=\frac{-3}{2}\sqrt2+2(\frac{2\sqrt2}{\sqrt2\sqrt2})$

$\Leftrightarrow m=\frac{-3}{2}\sqrt2+2(\frac{2\sqrt2}{2})$

$\Leftrightarrow m=\frac{-3}{2}\sqrt{2}+2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\sqrt{2}$