Diketahui:

$\left(x^2-2x\right)^{x^2-x}=\ \left(x^2-2x\right)^6$

Ditanya:

Jumlah semua nilai x

Dijawab:

Persamaan ini memiliki bentuk $f\left(x\right)^{g\left(x\right)}\ =\ f\left(x\right)^{h\left(x\right)}$ . Untuk menyelesaikannya, ada 4 kemungkinan yang harus ditelusuri satu per satu.

Kemungkinan 1:

$g\left(x\right)\ =\ h\left(x\right)$

$x^2-x=\ 6$

$x^2-x-6\ =\ 0$

$\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0$

$x\ =\ 3\ atau\ x\ =\ -2$

Kemungkinan 2:

$f\left(x\right)\ =\ 1$

$x^2-2x\ =\ 1$

$x^2-2x-\ 1\ =\ 0$

Karena tidak dapat difaktorkan, kita gunakan rumus abc untuk menyelesaikan persamaan kuadrat di atas:

$x_{1,2}\ =\ \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

dengan nilai $a\ =\ 1,\ b\ =\ -2,\ c\ =\ -1$

$x_{1,2}\ =\ \frac{2\ \pm\sqrt{4-4\cdot1\cdot\left(-1\right)}}{2\cdot1}$

$=\ \frac{2\ \pm\sqrt{4+4}}{2}$

$=\ \frac{2\ \pm\sqrt{8}}{2}$

$=\ \frac{2\ \pm2\sqrt{2}}{2}$

$=\ 1\pm\sqrt{2}$

$x\ =\ 1+\ \sqrt{2}\ atau\ x\ =\ 1\ -\ \sqrt{2}$

Kemungkinan 3:

$f\left(x\right)\ =\ -1$ dengan syarat $g\left(x\right)$ dan $h\left(x\right)$ harus keduanya ganjil atau keduanya genap.

$x^2-2x\ =\ -1$

$x^2-2x\ +1\ =\ 0$

$\left(x-1\right)^2=0$

$x\ =\ 1$

$g\left(1\right)\ =\ 1^2-1\ =\ 1$ (ganjil)

$h\left(1\right)\ =\ 6$ (genap)

Karena tidak keduanya ganjil atau genap, solusi ini tidak memenuhi.

Kemungkinan 4:

$f\left(x\right)\ =\ 0$ dengan syarat $g\left(x\right)\ >\ 0$ dan $h\left(x\right)\ >\ 0$ pada nilai x tersebut karena 0 dipangkat negatif menyebabkan bentuk tak terdefinisi dan 0 dipangkat 0 menyebabkan bentuk tak tentu:

$x^2-2x\ =\ 0$

$x\left(x-2\right)\ =\ 0$

$x\ =\ 0\ atau\ x\ =\ 2$

$g\left(0\right)\ =\ 0^2-0\ =\ 0$ (karena hasilnya 0, solusi $x\ =\ 0$ tidak memenuhi

$g\left(2\right)\ =\ 2^2-2\ =\ 2$

$h\left(2\right)\ =\ 6$

Karena $g\left(x\right)\ >\ 0$ dan $h\left(x\right)\ >\ 0$ pada $x\ =\ 2$, solusi ini memenuhi.

Jumlah semua nilai x yang memenuhi $=\ 3+\left(-2\right)\ +\ 1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+2\ =\ 5$