Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{x^2-5x+12}{x^2-4x+5}>3$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{x^2-5x+12}{x^2-4x+5}>3$ ... (1)

sehingga dapat kita lakukan langkah-langkah seperti di atas.

⇔ $\frac{x^2-5x+12}{x^2-4x+5}-3>0$

⇔ $\frac{x^2-5x+12-3\left(x^2-4x+5\right)}{x^2-4x+5}>0$

⇔ $\frac{x^2-5x+12-3x^2+12x-15}{x^2-4x+5}>0$

⇔ $\frac{-2x^2+7x-3}{x^2-4x+5}>0$

Kalikan kedua ruas dengan $-1$:

⇔ $\frac{2x^2-7x+3}{x^2-4x+5}<0$ ... (2)

Dari sini, diketahui $f\left(x\right)=2x^2-7x+3$ dan $g\left(x\right)=x^2-4x+5$. Selanjutnya, kita cari pembuat nolnya.

$f\left(x\right)=0$

⇔ $2x^2-7x+3=0$

⇔ $\left(2x-1\right)\left(x-3\right)=0$

$2x-1=0$ ⇔ $x=\frac{1}{2}$ atau

$x-3=0$ ⇔ $x=3$

$g\left(x\right)=0$

⇔ $x^2-4x+5=0$

Persamaan ini tidak bisa difaktorkan menggunakan cara biasa. Kita cek terlebih dahulu diskriminannya dengan $D=b^2-4ac$ dengan $a=1,\ b=-4,\ c=5$.

$D=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot5=16-20=-4<0$

Karena diskriminannya negatif, tidak ada nilai pembuat nol atau akar riil yang memenuhi.

Totalnya, ada dua nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Selanjutnya, tabel di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari kedua titik pembuat nol tersebut.

Tanda di pertidaksamaan (2) adalah $<$ , sehingga kita ambil tanda yang negatif. Solusinya adalah $\frac{1}{2}<x<3$.

Pembuktian:

Untuk rentang $\frac{1}{2}<x<3$, kita ambil $x=1$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

⇔ $\frac{\left(2\cdot1-1\right)\left(1-3\right)}{1^2-4\cdot1+5}<0$

⇔ $\frac{\left(1\right)\left(-2\right)}{1-4+5}<0$

⇔ $\frac{-2}{2}<0$

⇔ $-1<0$ ... (3)

Tanda di ruas kiri negatif. Dengan demikian, rentang tersebut memang menghasilkan nilai negatif. Selain itu, pernyataan (3) benar sehingga solusi tersebut memenuhi pertidaksamaan.