Diketahui: $y=2x-5$

Ditanya: Jarak terdekat $\left(d\right)$ titik $\left(6,2\right)$ ke kurva

Dijawab:

Jarak antar 2 titik yang berdekatan dapat ditentukan dengan metode berikut.

$d=\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2}$

Substitusikan persamaan kurva dan titik $\left(6,2\right)$ ke

$d=\sqrt{\left(x-6\right)^2+\left(\left(2x-5\right)-2\right)^2}$

$\ \ \ =\sqrt{\left(x-6\right)^2+\left(2x-7\right)^2}$

$\ \ \ =\sqrt{\left(x^2-12x+36\right)+\left(4x^2-28x+49\right)}$

$d=\sqrt{5x^2-40x+85}=\left(5x^2-40x+85\right)^{\frac{1}{2}}$

Jarak terdekat titik dan kurva dapat ditentukan dengan cara mencari titik stasioner fungsi $d$ sebagai berikut.

$d'=0$

Jika $d=g\left(x\right)=\left(f\left(x\right)\right)^n$ dengan $f\left(x\right)\ne0$ dan $n\in R$ , maka turunan pertama fungsi $g$ dapat ditentukan dengan metode berikut.

$g'\left(x\right)=n\left(f\left(x\right)\right)^{n-1}f'\left(x\right)$

Misalkan $f\left(x\right)=5x^2-40x+85$. Berdasarkan kedua metode di atas, diperoleh:

$f'\left(x\right)=10x-40$

$d'=g'\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(5x^2-40x+85\right)^{\frac{1}{2}-1}\left(10x-40\right)=0$

$\left(5x^2-40x+85\right)^{-\frac{1}{2}}\left(5x-20\right)=0$

$\frac{5x-20}{\sqrt{5x^2-40x+85}}=0$

$5x-20=0\ \Rightarrow\ x=4$

Substitusikan nilai $x=4$ ke persamaan $d$, diperoleh:

$d=\sqrt{5\left(4\right)^2-40\left(4\right)+85}=\sqrt{5}$ satuan

Jadi, jarak titik $\left(6,2\right)$ ke kurva $y=2x-5$ adalah $d=\sqrt{5}$ satuan.