Diketahui: $y=-2x^3-3x^2+1$

Ditanya: Interval ketika suatu fungsi selalu naik

Dijawab:

Jika $y=h\left(x\right)=ax^n$, dimana$$$$ $a,n\in R$ dan $a\ne0$ , maka turunan pertama fungsi $h$ dapat ditentukan dengan metode berikut.

$y'=h'\left(x\right)=anx^{n-1}$

Fungsi dikatakan selalu naik pada interval $(m,n)$ jika memenuhi syarat $h'\left(x\right)>0$. Sebelumnya, kita tentukan terlebih dahulu nilai $h'\left(x\right)=0$, sehingga didapatkan titik stasioner $x$.

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$y'=h'(x)=\left(-2\times3\right)x^{3-1}-\left(3\times2\right)x^{2-1}$

$h'(x)=-6x^2-6x$

$h'\left(x\right)=0$

$-6x^2-6x=0$

$6x^2+6x=0$ (Kalikan kedua ruas dengan $\left(-1\right)$)

$6x\left(x+1\right)=0\ \Rightarrow\ x=-1\ \text{atau}\ x=0$

Jadi, fungsi $h$ stasioner di titik $x=-1$ dan $x=0$.

Nilai $h'\left(x\right)$ di sekitar $x=-1$ dan $x=0$ disajikan pada gambar di bawah ini.

• Untuk $x<-1$

Ambil nilai $x=-2$ dan substitusikan ke persamaan $h'\left(x\right)$.

$h'\left(-2\right)=-6\left(-2\right)^2-6\left(-2\right)$

$=-24+12$

$=-12$

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)$ dikatakan turun pada interval tersebut karena nilai $h'\left(x\right)<0$.

• Untuk $-1<x<0$

Ambil nilai $x=-\frac{1}{2}$ dan substitusikan ke persamaan $h'\left(x\right)$.

$h'\left(-2\right)=-6\left(-\frac{1}{2}\right)^2-6\left(-\frac{1}{2}\right)$

$=-\frac{3}{2}+3$

$=\frac{3}{2}$

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)$ dikatakan naik pada interval tersebut karena nilai $h'\left(x\right)>0$.

• Untuk $x>0$

Ambil nilai $x=1$ dan substitusikan ke persamaan $h'\left(x\right)$.

$h'\left(1\right)=-6\left(1\right)^2-6\left(1\right)$

$=-6-6$

$=-12$

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)$ dikatakan turun pada interval tersebut karena nilai $h'\left(x\right)<0$.

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)=-2x^3-3x^2+1$ selalu naik pada interval $-1<x<0$