kejarcita | Merdeka Belajar Merdeka Mengajar

# 3

Pilgan

Diketahui $S (n)$ adalah rumus dari

$- 2 + 2 + 6 + 10 + \dots + (4 n - 6) = 2 n^{2} - 4 n$

Jika $S (n)$ benar untuk $n = k$ , maka akan dibuktikan benar bahwa ....

A

$4 k - 6 = 2 k^{2} - 4 k$

B

$4 (k + 1) - 6 = 2 (k + 1)^{2} - 4 (k + 1)$

C

$4 k - 6 = 2 (k + 1)^{2} - 4 (k + 1)$

D

$- 2 + 2 + 6 + 10 + \dots + (4 k - 6) = 2 k^{2} - 4 k$

E

$- 2 + 2 + 6 + 10 + \dots + (4 k - 6) + (4 (k + 1) - 6) = 2 (k + 1)^{2} - 4 (k + 1)$

Pembahasan:

Secara umum, pembuktian menggunakan induksi matematika terdiri dari dua tahap, yaitu:

Tahap pertama: basis induksi. Akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=a$ , dengan $a$ bilangan asli terkecil yang memenuhi $S\left(n\right)$ .
Tahap kedua: langkah induksi. Diandaikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$ , kemudian akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$ .

Pernyataan $S\left(n\right)$ dikatakan benar untuk $n=p$ ( $p$ dapat berupa bilangan maupun variabel) jika dengan mensubstitusikan $n=p$ pada $S\left(n\right)$ , maka pernyataan $S\left(n\right)$ benar/berlaku.

Pada soal dinyatakan bahwa "jika $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$ " artinya telah diandaikan bahwa $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$ . Langkah selanjutnya adalah membuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$ , yaitu dengan mensubstitusikan $n=k+1$ pada $S\left(n\right)$ diperoleh

$-2+2+6+10+\dots+(4k-6)+(4(k+1)-6)=2(k+1)^2-4(k+1)$