Diketahui:

$r=6\sqrt{3}\ \text{cm}$

Ditanya:

Jarak antara bidang $HFA$ dan $GDB$.

Dijawab:

Perhatikan sketsa kubus $ABCD.EFGH$ di bawah ini!

Bangun $HFA$ dan $GBD$ adalah segitiga sama sisi yang berada di dalam kubus $ABCD.EFGH$.

Untuk mengetahui jarak antara keduanya, buatlah bangun datar yang memotong kedua bangun segitiga tersebut, yaitu $EGCA$. Terdapat pula titik-titik $P,Q,R,\ S$ yang berturut-turut menjadi titik tengah setiap sisi persegi panjang tersebut. Titik-titik tengah ini berfungsi untuk membantu kita menemukan garis tegak lurus antara kedua garis atau bidang.

Jarak bangun $HFA$ dan $GBD$ dapat diwakili oleh jarak antara garis $PA$ dan $GA$. Jarak ditentukan dengan menarik garis tegak lurus antar garis, misalkan dari titik $P$ ke titik $Q$. Kemudian, jarak antara $PA$ dan $GR$ adalah panjang ruas $PQ$ dikurangi panjang ruas $x$.

• Panjang $EG$ dan $PG$

$EG=\sqrt{EH^2+HG^2}$

$=\sqrt{\left(6\sqrt{3}\right)^2+\left(6\sqrt{3}\right)^2}$

$=\sqrt{108+108}$

$=\sqrt{216}$

$=6\sqrt{6}\ \text{cm}$

$PG=\frac{1}{2}\times EG$

$=\frac{1}{2}\times6\sqrt{6}$

$=3\sqrt{6}\ \text{cm}$

• Panjang $PQ$

$PQ=\sqrt{PG^2+GQ^2}$

$=\sqrt{\left(3\sqrt{6}\right)^2+\left(3\sqrt{3}\right)^2}$

$=\sqrt{54+27}$

$=\sqrt{81}$

$=9\ \text{cm}$

• Panjang ruas $t$

Luas segitiga dengan alas $GQ$ = Luas segitiga dengan alas $PQ$

$\frac{1}{2}\times GQ\times PG=\frac{1}{2}\times PQ\times t$

$\frac{1}{2}\times3\sqrt{3}\times3\sqrt{6}=\frac{1}{2}\times9\times t$

$9\sqrt{18}=9\times t$

$t=\sqrt{18}$

$=\sqrt{9\times2}$

$=3\sqrt{2}\ \text{cm}$

• Panjang ruas $x$

$x=\sqrt{GQ^2-t^2}$

$=\sqrt{\left(3\sqrt{3}\right)^2-\left(3\sqrt{2}\right)^2}$

$=\sqrt{27-18}$

$=\sqrt{9}$

$=3\ \text{cm}$

• Jarak antara garis $PA$ dan $GR$

$=PQ-x$

$=9-3$

$=6\ \text{cm}$

Jadi, jarak antara segitiga $HFA$ dan $GBD$ adalah 6 cm.