Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{8x^2-3x+10}{5x-2}\le2x-1$

Ditanya:

Penyelesaian rentang nilai $x$?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{8x^2-3x+10}{5x-2}\le2x-1$ ... (1)

sehingga dapat kita lakukan langkah-langkah seperti di atas.

⇔ $\frac{8x^2-3x+10}{5x-2}-\left(2x-1\right)\le0$

Samakan penyebut:

⇔ $\frac{8x^2-3x+10-\left(2x-1\right)\left(5x-2\right)}{5x-2}\le0$

⇔ $\frac{8x^2-3x+10-\left(10x^2-9x+2\right)}{5x-2}\le0$

⇔ $\frac{-2x^2+6x+8}{5x-2}\le0$

Bagi kedua ruas dengan -2:

⇔ $\frac{x^2-3x-4}{5x-2}\ge0$ ... (2) (tanda dibalik karena perkalian dengan bilangan negatif)

Dari sini, diketahui $f\left(x\right)=x^2-3x-4$ dan $g\left(x\right)=5x-2$.

Selanjutnya, kita cari pembuat nolnya.

$f\left(x\right)=0$

⇔ $x^2-3x-4=0$

⇔ $\left(x-4\right)\left(x+1\right)=0$

$x-4=0$ ⇔ $x=4$ atau

$x+1=0$ ⇔ $x=-1$

$g\left(x\right)=0$

$5x-2=0$ ⇔ $x=\frac{2}{5}$

Ada tiga nilai $x\$pembuat nol. Tabel di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari ketiga titik pembuat nol tersebut.

Perhatikan di atas bahwa $\frac{2}{5}$ tidak memiliki tanda sama dengan. Hal ini karena letaknya di penyebut sehingga tidak boleh nol. Jika dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut

Pertidaksamaan (2) memiliki tanda $\ge$ sehingga yang kita ambil adalah daerah yang positif.

Pembuktian:

Untuk rentang $x\ge4$, kita masukkan $x=5$ ke pertidaksamaan (2).

⇔ $\frac{\left(5-4\right)\left(5+1\right)}{5\cdot5-2}\ge0$

⇔ $\frac{\left(1\right)\left(6\right)}{25-2}\ge0$

⇔ $\frac{6}{23}\ge0$ ... (3)

Ruas kiri bernilai positif. Dengan demikian, rentang ini memang menghasilkan nilai positif. Selain itu, pernyataan (3) benar sehingga solusi tersebut memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, jawabannya adalah $-1\ \le x\ <\ -\frac{2}{5}$ atau $x\ge4$.