Diketahui:

adalah matriks berordo $3\times3$

Ditanya:

determinan matriks?

Jawab:

Determinan matriks ordo $3\times3$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan Sarrus. Misalkan diketahui sebuah matriks $A_{3\times3}$ di bawah ini.

Berdasarkan aturan Sarrus, determinan matriks di atas dapat ditentukan dengan cara di bawah ini.

$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{a31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

Oleh karena itu, determinan matriks di atas adalah

$\det=1.2.2+0.1.0+\left(-1\right).3.\left(-3\right)-\left(-1\right).2.0-1.1.\left(-3\right)-0.3.2$

$\det=4+0+9-0-\left(-3\right)-0$

$\det=4+9+3$

$\det=16$

Jadi, determinan matriks tersebut adalah 16.

Diketahui:

adalah matriks berordo $3\times3$

Ditanya:

determinan matriks?

Jawab:

Determinan matriks ordo $3\times3$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan Sarrus. Misalkan diketahui sebuah matriks $A_{3\times3}$ di bawah ini.

Berdasarkan aturan Sarrus, determinan matriks di atas dapat ditentukan dengan cara di bawah ini.

$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{a31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

Oleh karena itu, determinan matriks di atas adalah

$\det A=3.1.2+2.\left(-1\right).5+1.4.\left(-1\right)-1.1.5-3.\left(-1\right).\left(-1\right)-2.4.2$

$\det A=6+\left(-10\right)+\left(-4\right)-5-3-16$

$\det A=6-10-4-5-3-16$

$\det A=-32$

Jadi, determinan matriks tersebut adalah -32.

Diketahui:

dan adalah matriks berordo $3\times3$

$\det A+\det B=-25$

$\det A-\det B=-11$

Ditanya:

$\frac{y}{x}=?$

Jawab:

Determinan matriks ordo $3\times3$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan Sarrus. Misalkan diketahui sebuah matriks $A_{3\times3}$ di bawah ini.

Berdasarkan aturan Sarrus, determinan matriks di atas dapat ditentukan dengan cara di bawah ini.

$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{a31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

Oleh karena itu, determinan kedua matriks di atas dapat ditemukan dengan cara sebagai berikut.

Determinan matriks A

$\det A=5.x.3+2.2.3+1.1.4-1.x.3-5.2.4-3.1.2$

$\det A=15x+12+4-3x-40-6$

$\det A=12x-30$

Determinan matriks B

$\det B=1.2.1+1.5.4+3.1.y-3.2.4-1.5.y-1.1.1$

$\det B=2+20+3y-24-5y-1$

$\det B=-3-2y$

Menemukan nilai $x$ dan $y$

$\det A+\det B=-25$

$\Leftrightarrow\left(12x-30\right)+\left(-3-2y\right)=-25$

$\Leftrightarrow12x-2y-33=-25$

$\Leftrightarrow12x-2y=8$ (persamaan 1)

$\det A-\det B=-11$

$\Leftrightarrow\left(12x-30\right)-\left(-3-2y\right)=-11$

$\Leftrightarrow12x+2y-27=-11$

$\Leftrightarrow12x+2y=16$ (persamaan 2)

Eliminasikan persamaan 1 dan 2

Substitusikan $x=1$ ke salah satu persamaan

$12x+2y=16$

$\Leftrightarrow12\left(1\right)+2y=16$

$\Leftrightarrow2y=16-12$

$\Leftrightarrow2y=4$

$\Leftrightarrow y=2$

Menemukan nilai $\frac{y}{x}$

$\frac{y}{x}=\frac{2}{1}=2$

Jadi, nilai $\frac{y}{x}$ adalah 2.

Diketahui:

$A=$ adalah matriks berordo $3\times3$

Ditanya:

invers matriks?

Jawab:

Misalkan $A$ adalah suatu matriks, invers matriks atau $A^{-1}$ dapat ditemukan dengan

$A^{-1}=\frac{1}{\det\ A}adj\left(A\right)$

Menentukan determinan matriks

Determinan matriks ordo $3\times3$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan Sarrus. Misalkan diketahui sebuah matriks $A_{3\times3}$ di bawah ini.

Berdasarkan aturan Sarrus, determinan matriks di atas dapat ditentukan dengan cara di bawah ini.

$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{a31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

Oleh karena itu, determinan matriks di atas adalah

$\det A=\left(-4\right).3.\left(-1\right)+1.4.\left(-1\right)+2.2.2-2.3.\left(-1\right)-\left(-4\right).4.2-1.2.\left(-1\right)$

$\det A=12+\left(-4\right)+8-\left(-6\right)-\left(-32\right)-\left(-2\right)$

$\det A=12-4+8+6+32+2$

$\det A=56$

Menentukan adjoin matriks

Adjoin matriks dapat ditemukan melalui kofaktor matriks karena

$Adj\left(A\right)=\left(kof\left(A\right)\right)^T$

Menemukan kofaktor matriks

Kofaktor matriks dapat ditemukan melalui minor matriks

$kof\left(A\right)=\left(\left(-1\right)^{i+j}Mij\right)$

Oleh karena itu,

Sehingga, invers matriks tersebut adalah

Diketahui:

dan adalah matriks berordo $3\times3$

Ditanya:

$\det\left(MN\right)=?$

Jawab:

Determinan matriks ordo $3\times3$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan Sarrus. Misalkan diketahui sebuah matriks $A_{3\times3}$ di bawah ini.

Berdasarkan aturan Sarrus, determinan matriks di atas dapat ditentukan dengan cara di bawah ini.

$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{a31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

Oleh karena itu, determinan kedua matriks di atas dapat ditemukan dengan cara sebagai berikut.

Hasil kali matriks M dan matriks N

Determinan matriks MN

$\det MN=4.9.16+\left(-2\right).\left(-13\right).4+4.2.\left(-2\right)-4.9.4-4.\left(-13\right).\left(-2\right)-\left(-2\right).2.16$

$\det MN=576+104+\left(-16\right)-144-104-\left(-64\right)$

$\det MN=664-184$

$\det MN=480$

Jadi, determinan matriks MN adalah 480.

Diketahui:

$A=$ adalah matriks berordo $3\times3$

Ditanya:

invers matriks?

Jawab:

Misalkan $A$ adalah suatu matriks, invers matriks atau $A^{-1}$ dapat ditemukan dengan

$A^{-1}=\frac{1}{\det\ A}adj\left(A\right)$

Menentukan determinan matriks

Determinan matriks ordo $3\times3$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan Sarrus. Misalkan diketahui sebuah matriks $A_{3\times3}$ di bawah ini.

Berdasarkan aturan Sarrus, determinan matriks di atas dapat ditentukan dengan cara di bawah ini.

$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{a31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

Oleh karena itu, determinan matriks di atas adalah

$\det=1.2.2+0.1.0+\left(-1\right).3.\left(-3\right)-\left(-1\right).2.0-1.1.\left(-3\right)-0.3.2$

$\det=4+0+9-0-\left(-3\right)-0$

$\det=4+9+3$

$\det=16$

Menentukan adjoin matriks

Adjoin matriks dapat ditemukan melalui kofaktor matriks karena

$Adj\left(A\right)=\left(kof\left(A\right)\right)^T$

Menemukan kofaktor matriks

Kofaktor matriks dapat ditemukan melalui minor matriks

$kof\left(A\right)=\left(\left(-1\right)^{i+j}Mij\right)$

Oleh karena itu,

Sehingga, invers matriks tersebut adalah

Diketahui:

$A=$ adalah matriks berordo $3\times3$

Ditanya:

invers matriks?

Jawab:

Misalkan $A$ adalah suatu matriks, invers matriks atau $A^{-1}$ dapat ditemukan dengan

$A^{-1}=\frac{1}{\det\ A}adj\left(A\right)$

Menentukan determinan matriks

Determinan matriks ordo $3\times3$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan Sarrus. Misalkan diketahui sebuah matriks $A_{3\times3}$ di bawah ini.

Berdasarkan aturan Sarrus, determinan matriks di atas dapat ditentukan dengan cara di bawah ini.

$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{a31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

Oleh karena itu, determinan matriks di atas adalah

$\det A=1.2.1+1.5.4+3.1.2-3.2.4-1.5.2-1.1.1$

$\det A=2+20+6-24-10-1$

$\det A=28-35$

$\det A=-7$

Menentukan adjoin matriks

Adjoin matriks dapat ditemukan melalui kofaktor matriks karena

$Adj\left(A\right)=\left(kof\left(A\right)\right)^T$

Menemukan kofaktor matriks

Kofaktor matriks dapat ditemukan melalui minor matriks

$kof\left(A\right)=\left(\left(-1\right)^{i+j}Mij\right)$

Oleh karena itu,

Sehingga, invers matriks tersebut adalah

Diketahui:

dan adalah matriks berordo $3\times3$

$\det A+\det B=-4$

Ditanya:

$x=?$

Jawab:

Determinan matriks ordo $3\times3$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan Sarrus. Misalkan diketahui sebuah matriks $A_{3\times3}$ di bawah ini.

Berdasarkan aturan Sarrus, determinan matriks di atas dapat ditentukan dengan cara di bawah ini.

$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{a31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

Oleh karena itu, determinan kedua matriks di atas dapat ditemukan dengan cara sebagai berikut.

Determinan matriks A

$\det A=1.x.3+2.1.1+1.3.2-1.x.1-1.1.2-2.3.3$

$\det A=3x+2+6-x-2-18$

$\det A=2x-12$

Determinan matriks B

$\det B=3.2.1+4.4.1+2.1.1-2.2.1-3.4.1-4.1.1$

$\det B=6+16+2-4-12-4$

$\det B=4$

Menemukan nilai $x$

$\det A+\det B=-4$

$\Leftrightarrow\left(2x-12\right)+4=-4$

$\Leftrightarrow2x-8=-4$

$\Leftrightarrow2x=4$

$\Leftrightarrow x=2$

Jadi, nilai $x$ yang tepat adalah 2.

Diketahui:

tidak mempunyai invers

$a$ adalah bilangan bulat

Ditanya:

$a=?$

Jawab:

Sebuah matriks tidak mempunyai invers jika dan hanya jika determinannya adalah 0.

Maka,

$\det=0$ atau dapat ditulis sebagai berikut.

Berdasarkan aturan Sarrus, determinan matriks di atas dapat ditentukan dengan cara di bawah ini.

$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{a31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

Oleh karena itu,

$a.2.a+3.3.a+\left(-4\right).1.3-\left(-4\right).2.a-a.3.3-3.1.a=0$

$2a^2+9a-12-\left(-8a\right)-9a-3a=0$

$2a^2+9a-12+8a-9a-3a=0$

$2a^2+5a-12=0$

faktorkan fungsi kuadrat di atas.

$\left(2a-3\right)\left(a+4\right)=0$

Sehingga diperoleh $a=\frac{3}{2}$ atau $a=-4$ .

Karena $a$ adalah bilangan bulat, maka nilai $a$ yang memenuhi adalah -4.

Diketahui:

tidak mempunyai invers

$a$ adalah bilangan bulat

Ditanya:

$a=?$

Jawab:

Sebuah matriks tidak mempunyai invers jika dan hanya jika determinannya adalah 0.

Maka,

$\det=0$ atau dapat ditulis sebagai berikut.

Berdasarkan aturan Sarrus, determinan matriks di atas dapat ditentukan dengan cara di bawah ini.

$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{a31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

Oleh karena itu,

$3.1.5+1.a.2+a.a.4-a.1.2-3.a.4-1.a.5=0$

$15+2a+4a^2-2a-12a-5a=0$

$4a^2-17a+15=0$

faktorkan fungsi kuadrat di atas.

$\left(4a-5\right)\left(a-3\right)=0$

Sehingga diperoleh $a=\frac{5}{4}$ atau $a=3$.

Karena $a$ adalah bilangan bulat, maka nilai $a$ yang memenuhi adalah 3.