Bank Soal Matematika SMA Persamaan Trigonometri

Diketahui:

Terdapat sebuah persamaan trigonometri $\sqrt{3}\sin \left(2A\right)\cot \left(2A\right)-\sin \left(2A\right)=0$ .

Ditanya:

Himpunan penyelesaian pada interval $0\le x\le2\pi$ ?

Dijawab:

$\leftrightarrow\ \sqrt{3}\sin\left(2A\right)\cot\left(2A\right)-\sin\left(2A\right)=0$

$\leftrightarrow\ \sin\left(2A\right)\left(\sqrt{3}\cot\left(2A\right)-1\right)=0$

Sehingga mendapat 2 hasil, yaitu:

Himpunan penyelesaian pertama

$\sin\left(2A\right)=0$

Berdasarkan persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah $\sin x=\sin a\$, maka terdapat 2 hasil yaitu $x=a+k\cdot2\pi$ dan $x=\left(\pi-a\right)+k\cdot2\pi$ mengingat periode dari sinus adalah $2\pi$ . Maka jika $x\$dimisalkan sebagai$$ $2A$ dan $a$ dimisalkan sebagai $\pi$, kedua hasil itu dapat ditulis sebagai:

Kemungkinan 1

$2A=\pi+2\pi k$

$\leftrightarrow\ 2A=2k\pi$

$\leftrightarrow\ A=k\pi$

Karena $\cot\pi$ dan kelipatannya nilainya tidak terdefinisi, maka hasil diatas tidak memenuhi.

Kemungkinan 2

$2A=\left(\pi-\pi\right)+2\pi k$

$\leftrightarrow\ 2A=0+2k\pi$

$\leftrightarrow\ A=k\pi$

Karena $\cot\pi$ dan kelipatannya nilainya tidak terdefinisi, maka hasil diatas tidak memenuhi.

Himpunan penyelesaian kedua

$\sqrt{3}\cot\left(2A\right)-1=0$

$\leftrightarrow\ \sqrt{3}\cot\left(2A\right)=1$

$\leftrightarrow\cot\left(2A\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\leftrightarrow\tan\left(2A\right)=\sqrt{3}$

Berdasarkan persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah $\tan x=\tan a$ maka didapat hasil $x=a+k\pi$:

$\leftrightarrow\ 2A=\frac{\pi}{3}+k\pi$

$\leftrightarrow\ A=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}$

Selanjutnya adalah menghitung nilai-nilai $x$ yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,+-1,+-2,dst.:

1. $$ $A=\frac{\pi}{6}$ (k=0)
2. $A=\frac{4\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}$ (k=1)
3. $A=\frac{7\pi}{6}$ (k=2)
4. $A=\frac{10\pi}{6}=\frac{5\pi}{3}$ (k=3)
5. $A=\frac{13\pi}{6}$ (k=4) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Maka dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri diatas pada interval yang telah ditentukan adalah $\left\{\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{6},\frac{5\pi}{3}\right\}$.