Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Dua Variabel

Diketahui:

Titik pusat $\left(1,3\right)$

Panjang mayor: $2a=6,$ maka $a=3$

Panjang minor: $2b=4$ , maka $b=2$

Ditanya:

Apakah pertidaksamaan yang tepat untuk daerah penyelesaian yang disajikan?

Dijawab:

Persamaan umum elips untuk titik pusat $\left(p,q\right)$ :

$\frac{\left(x-p\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-q\right)^2}{b^2}=1$

Jika $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}<1$, maka daerah penyelesaian berada di dalam elips.

Jika $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, maka daerah penyelesaian berada pada elips.

Jika $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}>1$, maka daerah penyelesaian berada di luar elips.

Jika pertidaksamaan memiliki tanda hubung $>$ atau $<$, maka elips digambarkan putus-putus.

Jika pertidaksamaan memiliki tanda hubung $\ge$ atau $\le$, maka elips digambarkan bersambung.

=============================================

$\frac{\left(x-p\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-q\right)^2}{b^2}=1$

$\frac{\left(x-1\right)^2}{3^2}+\frac{\left(y-3\right)^2}{2^2}=1$

$\frac{x^2-2x+1}{9}+\frac{y^2-6y+9}{4}=1$

kalikan kedua ruas dengan 36

$4\left(x^2-2x+1\right)+9\left(y^2-6y+9\right)=36$

$4x^2-8x+4+9y^2-54y+81=36$

$4x^2-8x+9y^2-54y+49=0$

Karena pada gambar ditunjukkan daerah penyelesaian berada di bagian dalam dan elips disajikan tidak putus-putus, maka pertidaksamaan yang tepat adalah $4x^2-8x+9y^2-54y+49\le0$

Uji titik untuk memastikan bahwa pertidaksamaan yang diambil sudah tepat:

Titik $\left(0,3\right)$ yang berada di dalam daerah penyelesaian

$4x^2-8x+9y^2-54y+49=4\left(0\right)^2-8\left(0\right)+9\left(3\right)^2-54\left(3\right)+49$

$4x^2-8x+9y^2-54y+49=0+0+9\left(9\right)-162+49$

$4x^2-8x+9y^2-54y+49=-32$

Didapat bahwa $-32<0$ maka memenuhi $4x^2-8x+9y^2-54y+49\le0$

Titik $\left(0,0\right)$ yang berada di luar daerah penyelesaian

$4x^2-8x+9y^2-54y+49=0-0+0-0+49=49$

Didapat bahwa $49>0$, maka tidak memenuhi $4x^2-8x+9y^2-54y+49\le0$

Jadi, pertidaksamaan yang sesuai adalah $4x^2-8x+9y^2-54y+49\le0$.