Contoh Soal

Pembahasan:

Diketahui data produksi dua barang oleh suatu perusahaan dalam lima tahun terakhir seperti pada diagram berikut.

Berdasarkan diagram tersebut terlihat bahwa:

Pada tahun 2016 produksi barang B = 1.000 kurang dari produksi barang A = 3.000,

Pada tahun 2017 produksi barang B = 2.000 kurang dari produksi barang A = 6.000,

Pada tahun 2018 produksi barang B = 5.000 kurang dari produksi barang A = 7.000,

Pada tahun 2019 produksi barang B = 6.000 lebih dari produksi barang A = 5.000,

Pada tahun 2020 produksi barang B = 5.000 kurang dari produksi barang A = 6.000.

Jadi produksi barang B lebih dari produksi barang A terjadi pada tahun 2019.

Pembahasan:

Perhatikan pilihan jawaban berikut!

Pada pilihan jawaban tersebut terlihat bahwa banyak peserta ekstrakurikuler

basket 15 orang,

futsal 18 orang,

KIR 12 orang,

tari 10 orang, dan

PMR 15 orang.

Hal ini sesuai dengan yang diketahui di soal. Artinya pilihan jawaban tersebut merupakan pilihan jawaban yang benar.

Pembahasan:

Diketahui data berat badan Wati selama setengah tahun diet seperti pada diagram berikut.

Wati menginginkan berat badannya menjadi 50 kg. Berdasarkan diagram tersebut, keinginan Wati tercapai pada bulan ke-6.

Pembahasan:

Diketahui:

Ditanya:

Penyajian data dalam bentuk tabel?

Jawab:

Langkah-langkah membuat tabel dari histogram adalah sebagai berikut.

Siapkan tabel data yang diperlukan

Perhatikan bahwa terdapat 7 kelas data pada histogram, sehingga tabel dapat dibuat seperti di bawah ini.

Menentukan batas bawah kelas

Perhatikan tepi batas histogram. Tepi batas histogram terletak di sumbu$-x$ atau lihat gambar di bawah ini.

Batas bawah kelas dapat ditentukan dengan menambahkan tepi batas histogram dengan $0,5$. Tepi batas histogram paling besar (paling kanan) tidak dapat dijadikan batas bawah kelas karena akan menjadi batas paling atas dari data yang ada.

Untuk kelas ke-1 batas bawahnya adalah $39,5+0,5=40$

Untuk kelas ke-2 batas bawahnya adalah $44,5+0,5=45$

Untuk kelas ke-3 batas bawahnya adalah $49,5+0,5=50$

Untuk kelas ke-4 batas bawahnya adalah $54,5+0,5=55$

Untuk kelas ke-5 batas bawahnya adalah $59,5+0,5=60$

Untuk kelas ke-6 batas bawahnya adalah $64,5+0,5=65$

Untuk kelas ke-7 batas bawahnya adalah $69,5+0,5=70$

Menentukan batas atas kelas

Batas atas kelas dapat ditentukan dengan mengurankan tepi batas historam dengan $0,5$. Tepi batas histogram paling kecil (paling kiri) tidak dapat dijadikan batas atas kelas karena akan menjadi batas paling bawah dari data yang ada.

Untuk kelas ke-1 batas atasnya adalah $44,5-0,5=44$

Untuk kelas ke-2 batas atasnya adalah $49,5-0,5=49$

Untuk kelas ke-3 batas atasnya adalah $54,5-0,5=54$

Untuk kelas ke-4 batas atasnya adalah $59,5-0,5=59$

Untuk kelas ke-5 batas atasnya adalah $64,5-0,5=64$

Untuk kelas ke-6 batas atasnya adalah $69,5-0,5=69$

Untuk kelas ke-7 batas atasnya adalah $74,5-0,5=74$

Mengisi tabel.

Isi tabel dengan batas bawah dan batas atas yang bersesuaian.

Sesuaikan dengan frekuensi pada histogram dan hitung jumlah total frekuensinya.

Jadi, tabel yang sesuai dengan histogram di atas adalah .

Pembahasan:

Dimisalkan

$f_i$ = frekuensi nilai ke-$i$

$x_i$ = nilai tengah interval ke-$i$,

yaitu untuk sembarang interval $a\ -\ b$, nilai tengahnya adalah

$x_i=\frac{a\ +\ b}{2}$

diperoleh tabel berikut

Rataan untuk data tersebut adalah

$\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^nf_ix_i}{\sum_{i=1}^nf_i}$

$\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^5f_ix_i}{\sum_{i=1}^5f_i}$

$\overline{x}=\frac{387+528+636+580+504}{9+11+12+10+8}$

$\overline{x}=\frac{2.635}{50}$

$\overline{x}=52,7$

Pembahasan:

Perhatikan poligon frekuensi kumulatif kurang dari berikut!

Titik-titik pada poligon frekuensi kumulatif kurang dari merupakan tepi bawah (atau sekaligus tepi atas) kelas interval, sehingga diperoleh tabel berikut.

Frekuensi kumulatif pada tabel tersebut merupakan frekuensi kumulatif (kurang dari) di batas atas kelas interval pada poligon frekuensi kumulatif kurang dari.

Diperoleh banyak siswa yang mendapat nilai kurang dari 51 adalah 15 orang dari total 30 orang siswa.

Jadi presentase siswa yang tidak lulus adalah

$\text{persentase}=\frac{\text{frekuensi data yang dicari}}{\text{total frekuensi}}\times 100\%=\frac{15}{30}\times100\%=\frac{1}{2}\times100\%=50\%$

Pembahasan:

Diketahui:

Data berikut

$9,\ 7,\ 6,\ 13,\ 12,\ 16,\ 19,\ 6,\ 9,\ 15,\ 10,\ 18,\ 16,\ 6$

Ditanya:

Desil kedua (D₂) dan desil kelima (D₅) data tersebut?

Jawab:

Data yang diketahui terlebih dahulu diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar, mejadi

$6,\ 6,\ 6,\ 7,\ 9,\ 9,\ 10,\ 12,\ 13,\ 15,\ 16,\ 16,\ 18,\ 19$

Dimisalkan $x_i$ adalah data ke-$i$ dan $n$ adalah banyak data.

Rumus umum letak desil ke-$m$ adalah

$D_m=x_{\frac{m\left(n+1\right)}{10}}$ ,

jika $D_m=x_{a,b}$, maka

$D_m=x_a+\frac{b}{10}\left(x_{a+1}-x_a\right)$

Data yang diketahui sebanyak 14, maka diperoleh

$D_2=x_{\frac{2\left(14+1\right)}{10}}=x_{\frac{2,15}{10}}=x_{\frac{30}{10}}=x_3=6$.

$D_5=x_{\frac{5\left(14+1\right)}{10}}=x_{\frac{5,15}{10}}=x_{\frac{75}{10}}=x_{7,5}$

Letak desil kelima yaitu di antara data ketujuh dan data kedelapan, sehingga

$D_5=x_7+\frac{5}{10}\left(x_8-x_7\right)$

$D_5=10+\frac{1}{2}\left(12-10\right)$

$D_5=10+\frac{1}{2}\left(2\right)$

$D_5=10+1$

$D_5=11$

Jadi desil kedua dan kelima data tersebut berturut-turut adalah 6 dan 11.

Pembahasan:

Berdasarkan data yang diketahui, modus berada pada kelas interval 61-65.

Dimisalkan

$U$ : tepi atas kelas modus

secara umum tepi atas kelas $a\ -\ b$ adalah $U=b+0,5$.

$L$ : tepi bawah kelas modus,

secara umum tepi bawah kelas $a\ -\ b$ adalah $L=a-0,5$.

$c$ : panjang kelas

secara umum panjang kelas $a\ -\ b$ adalah $c=U-L$.

$d_1$ : selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya

$d_2$ : selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas setelahnya

Dari tabel tersebut diperoleh

$U=65+0,5=65,5$

$L=61-0,5=60,5$

$c=U-L=65,5-60,5=5$

$d_1=12-6=6$

$d_2=12-9=3$

Modus data berkelompok tersebut adalah

$\text{Modus}=L+c\left(\frac{d_1}{d_1+d_2}\right)$

$\text{Modus}=60,5+5\left(\frac{6}{6+3}\right)$

$\text{Modus}=60,5+5\left(\frac{6}{9}\right)$

$\text{Modus}=60,5+5.\frac{2}{3}$

$\text{Modus}=60,5+\frac{10}{3}$

$\text{Modus}=60,5+3,33$

$\text{Modus}=63,83$

Pembahasan:

Diketahui:

Rata-rata gabungan $=\overline{x}_{\text{gabungan}}=40$ tahun

Rata-rata umur guru $=\overline{x}_{\text{guru}}=35$ tahun

Rata-rata umur dosen $=\overline{x}_{\text{dosen}}=50$ tahun

Ditanya:

Perbandingan banyak guru dan dosen $=n_{\text{guru}}:n_{\text{dosen}}=?$

Jawab:

Rata-rata gabungan dapat dihitung dari jumlah data umur guru dan umur dosen dibagi jumlah guru dan dosen.

Jumlah data umur guru.

$\overline{x}_{\text{guru}}=\frac{\text{jumlah data umur guru}}{n_{\text{guru}}}$

$35=\frac{\text{jumlah data umur guru}}{n_{\text{guru}}}$

$\text{jumlah data umur guru}=35⋅n_{\text{guru}}$

Jumlah data umur dosen

$\overline{x}_{\text{dosen}}=\frac{\text{jumlah data umur dosen}}{n_{\text{dosen}}}$

$50=\frac{\text{jumlah data umur dosen}}{n_{\text{dosen}}}$

$\text{jumlah data umur dosen}=50⋅n_{\text{dosen}}$

Rata-rata gabungan

$\overline{x}_{\text{gabungan}}=\frac{\text{jumlah data umur guru}+\text{jumlah data umur dosen}}{n_{\text{guru}}+n_{\text{}\text{dosen}}}$

$40=\frac{35⋅n_{\text{guru}}+50⋅n_{\text{dosen}}}{n_{\text{guru}}+n_{\text{dosen}}}$

$40\left(n_{\text{guru}}+n_{\text{dosen}}\right)=35⋅n_{\text{guru}}+50⋅n_{\text{dosen}}$

$40⋅n_{\text{guru}}+40⋅n_{\text{dosen}}=35⋅n_{\text{guru}}+50⋅n_{\text{dosen}}$

$40⋅n_{\text{guru}}-35⋅n_{\text{guru}}=50⋅n_{\text{dosen}}-40⋅n_{\text{dosen}}$

$5⋅n_{\text{guru}}=10⋅n_{\text{dosen}}$

$\frac{n_{\text{guru}}}{n_{\text{dosen}}}=\frac{10}{5}$

$\frac{n_{\text{guru}}}{n_{\text{dosen}}}=\frac{2}{1}$

Jadi, perbandingan banyak guru dan dosen adalah 2 : 1.

Pembahasan:

Diketahui:

$\overline{x}_1=35$ kg

$\overline{x}_2=36$ kg

$n_1=n_2=4$

Ditanya:

Selisih berat badan anak yang ditukar?

Jawab:

$\overline{x}_1=\frac{\text{Jumlah data kelompok 1}}{n_1}$

$\Leftrightarrow35=\frac{\text{Jumlah data kelompok 1}}{4}$

$\Leftrightarrow\text{Jumlah data kelompok 1}=35⋅4$

$\Leftrightarrow\text{Jumlah data kelompok 1}=140$

$\overline{x}_2=\frac{\text{Jumlah data kelompok 2}}{n_2}$

$\Leftrightarrow36=\frac{\text{Jumlah data kelompok 2}}{4}$

$\Leftrightarrow\text{Jumlah data kelompok 2}=36⋅4$

$\Leftrightarrow\text{Jumlah data kelompok 2}=144$

Jika seorang anak dari masing-masing kelompok ditukarkan maka ternyata rata-rata kedua kelompok menjadi sama.

Jika berat badan anak yang ditukar dari kelompok 1 adalah $x$ dan berat badan anak yang ditukar dari kelompok 2 adalah $y$, maka

$\frac{\text{Jumlah data kelompok 1}-x+y}{4}=\frac{\text{Jumlah data kelompok 2}-y+x}{4}$

$\Leftrightarrow\ \frac{140-x+y}{4}=\frac{144-y+x}{4}$

$\Leftrightarrow140-x+y=144-y+x$

$\Leftrightarrow-x-x+y+y=144-140$

$\Leftrightarrow-2x+2y=4$

$\Leftrightarrow-x+y=2$

$\Leftrightarrow y-x=2$

Jadi, selisih berat badan anak yang ditukar adalah 2 kg.