Latihan Matematika Wajib Kelas XI Deret Geometri
# 3
Pilgan

Diketahui barisan geometri mempunyai suku ke-3 dan suku ke-5 berturut-turut adalah 24 dan 6. Jika 34\frac{3}{4} adalah suku terakhir barisan tersebut, maka jumlah semua suku barisan tersebut adalah ....

A

190190

B

19114191\frac{1}{4}

C

19312193\frac{1}{2}

D

195195

E

19634196\frac{3}{4}

Pembahasan:

Diketahui:

Barisan geometri mempunyai U3=24U_3=24, U5=6U_5=6, dan Un=34U_n=\frac{3}{4}.

Ditanya:

Jumlah semua suku barisan tersebut?

Jawab:

Rumus suku ke-nn barisan geometri adalah Un=arn1U_n=ar^{n-1}

Pada soal diketahui U3=24U_3=24 dan U5=6U_5=6

Artinya U3=ar2=24U_3=ar^2=24 dan U5=ar4=6U_5=ar^4=6

sehingga dapat kita peroleh

ar4ar2=624r2=14r=12\frac{ar^4}{ar^2}=\frac{6}{24}\Leftrightarrow r^2=\frac{1}{4}\Leftrightarrow r=\frac{1}{2}

dan

ar2=24a=24(12)2=24(14)=24.4=96ar^2=24\Leftrightarrow a=\frac{24}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{24}{\left(\frac{1}{4}\right)}=24.4=96

Karena suku terakhir barisan yang diberikan adalah 34\frac{3}{4}. Dapat kita peroleh

Un=a.rn1U_n=a.r^{n-1}

34=96.(12)n1\Leftrightarrow\frac{3}{4}=96.\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}

34.196=(12)n1\Leftrightarrow\frac{3}{4}.\frac{1}{96}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}

14.132=(12)n1\Leftrightarrow\frac{1}{4}.\frac{1}{32}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}

(12)2.(12)5=(12)n1\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^2.\left(\frac{1}{2}\right)^5=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}

(12)7=(12)n1\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^7=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}

7=n1\Leftrightarrow7=n-1

8=n\Leftrightarrow8=n

Jumlah deret geometri dengan r<1r<1 adalah

Sn=a(1rn)1rS_n=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}

S8=96(1(12)8)112\Leftrightarrow S_8=\frac{96\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^8\right)}{1-\frac{1}{2}}

S8=96(11256)12\Leftrightarrow S_8=\frac{96\left(1-\frac{1}{256}\right)}{\frac{1}{2}}

S8=2.96(2562561256)\Leftrightarrow S_8=2.96\left(\frac{256}{256}-\frac{1}{256}\right)

S8=192(255256)\Leftrightarrow S_8=192\left(\frac{255}{256}\right)

S8=3(255)4\Leftrightarrow S_8=\frac{3\left(255\right)}{4}

S8=7654\Leftrightarrow S_8=\frac{765}{4}

S8=19114\Leftrightarrow S_8=191\frac{1}{4}

Jadi, jumlah semua suku barisan tersebut adalah 19114191\frac{1}{4}.