Latihan Matematika Peminatan Kelas X Tafsiran Geometri dari Kedudukan Vektor
# 2
Pilgan

Diketahui segitiga PQRPQR dengan titik SS berada pada garis PRPR dan titik TT berada pada garis RQRQ. Jika PS:SR=2:1\left|\overrightarrow{PS}\right|:\left|\overrightarrow{SR}\right|=2:1 dan RT:TQ=4:1\left|\overrightarrow{RT}\right|:\left|\overrightarrow{TQ}\right|=4:1 serta QP=u\overrightarrow{QP}=\vec{u} dan QR=v\overrightarrow{QR}=\vec{v} maka ST\overrightarrow{ST} sama dengan ....

A

12u715v-\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{7}{15}\vec{v}

B

13u+1715v\frac{1}{3}\vec{u}+\frac{17}{15}\vec{v}

C

13u1715v-\frac{1}{3}\vec{u}-\frac{17}{15}\vec{v}

D

13u+715v\frac{1}{3}\vec{u}+\frac{7}{15}\vec{v}

E

13u715v-\frac{1}{3}\vec{u}-\frac{7}{15}\vec{v}

Pembahasan:

Diketahui:

Segitiga PQRPQR dengan titik SS berada pada garis PRPR dan titik TT berada pada garis RQRQ. Diketahui pula PS:SR=2:1\left|\overrightarrow{PS}\right|:\left|\overrightarrow{SR}\right|=2:1 dan RT:TQ=4:1\left|\overrightarrow{RT}\right|:\left|\overrightarrow{TQ}\right|=4:1 serta QP=u\overrightarrow{QP}=\vec{u} dan QR=v\overrightarrow{QR}=\vec{v}

Ditanya:

ST\overrightarrow{ST} sama dengan ?

Jawab:

Perhatikan ilustrasi berikut!

Secara umum penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan menempatkan titik awal suatu vektor (misal QR\overrightarrow{QR}) ke titik ujung vektor yang lain (misal PQ\overrightarrow{PQ}), diperoleh

PQ+QR=PR\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}

Perlu diingat bahwa untuk sembarang titik AA dan BB serta CC titik tengah garis ABAB berlaku

AC=CB=12AB\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}

dan untuk titik DD yang membagi ABAB dengan perbandingan AD:DB=m:nAD:DB=m:n berlaku

AD=mm+nAB\overrightarrow{AD}=\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB} dan DB=nm+nAB\overrightarrow{DB}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{AB}

Diperoleh

ST=SR+RT\overrightarrow{ST}=\overrightarrow{SR}+\overrightarrow{RT}

ST=13PR+45RQ\Leftrightarrow\overrightarrow{ST}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PR}+\frac{4}{5}\overrightarrow{RQ}

ST=13(PQ+QR)+45RQ\Leftrightarrow\overrightarrow{ST}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}\right)+\frac{4}{5}\overrightarrow{RQ}

Perlu diingat untuk skalar k=1k=-1 dan vektor v=AB\vec{v}=\overrightarrow{AB}, maka kv=ABk\vec{v}=-\overrightarrow{AB} dan memiliki panjang 1=1\left|-1\right|=1 kali panjang AB\overrightarrow{AB} (panjangnya sama) serta arahnya berlawanan dengan vektor AB\overrightarrow{AB} (sebab 1<0-1<0). Oleh karena itu vektor AB-\overrightarrow{AB} memiliki titik awal BB dan titik ujung AA atau dapat ditulis sebagai vektor BA\overrightarrow{BA}.

Diperoleh

ST=13(QP+QR)45QR\overrightarrow{ST}=\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{QR}\right)-\frac{4}{5}\overrightarrow{QR}

ST=13(u+v)45v\Leftrightarrow\overrightarrow{ST}=\frac{1}{3}\left(-\vec{u}+\vec{v}\right)-\frac{4}{5}\vec{v}

ST=13u+13v45v\Leftrightarrow\overrightarrow{ST}=-\frac{1}{3}\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{v}-\frac{4}{5}\vec{v}

ST=13u+51215v\Leftrightarrow\overrightarrow{ST}=-\frac{1}{3}\vec{u}+\frac{5-12}{15}\vec{v}

ST=13u715v\Leftrightarrow\overrightarrow{ST}=-\frac{1}{3}\vec{u}-\frac{7}{15}\vec{v}