Diketahui:

Titik-titik $P=\left(-1,\ 2,\ 0\right),\ Q=\left(x,\ -1,\ 0\right),$ dan $R=\left(4,\ -4,\ 0\right)$ segaris.

Ditanya:

Nilai $x$ yang tepat?

Jawab:

Secara umum, titik $A,\ B,$ dan $C$ dikatakan segaris jika dan hanya jika setiap vektor yang dibentuk oleh dua dari tiga titik tersebut akan saling berkelipatan. Yaitu, jika diketahui vektor posisi $\overrightarrow{OA}$ dan $\overrightarrow{OB}$, maka vektor $\overrightarrow{AB}$ dapat dicari menggunakan rumus $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$.

Titik-titik yang diketahui pada soal adalah $P,\ Q,$ dan $R$. Dimisalkan $\overrightarrow{PQ}=k\overrightarrow{PR}$ dengan $k$ sebagai faktor kelipatan. Perlu diingat bahwa $\overrightarrow{OP},\ \overrightarrow{OQ},\ \overrightarrow{OR}$ merupakan vektor posisi titik $P,\ Q,$ dan $R$ terhadap titik asal $O$. Diperoleh

vektor $\overrightarrow{PQ}$

$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{PQ}=\left(x,\ -1,\ 0\right)-\left(-1,\ 2,\ 0\right)$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{PQ}=\left(x+1,\ -1-2,\ 0-0\right)$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{PQ}=\left(x+1,\ -3,\ 0\right)$

dan vektor $\overrightarrow{PR}$

$\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{PR}=\left(4,\ -4,\ 0\right)-\left(-1,\ 2,\ 0\right)$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{PR}=\left(4+1,\ -4-2,\ 0-0\right)$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{PR}=\left(5,\ -6,\ 0\right)$

Kemudian didapat

$\overrightarrow{PQ}=k\overrightarrow{PR}$

$\Leftrightarrow\left(x+1,\ -3,\ 0\right)=k\left(5,\ -6,\ 0\right)$

$\Leftrightarrow\left(x+1,\ -3,\ 0\right)=\left(5k,\ -6k,\ 0\right)$

Artinya

$-3=-6k$

$\Leftrightarrow\frac{-3}{-6}=k$

$\Leftrightarrow\frac{1}{2}=k$

sehingga

$x+1=5k$

$\Leftrightarrow x=5k-1$

$\Leftrightarrow x=5\frac{1}{2}-1$

$\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}-\frac{2}{2}$

$\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$