Latihan Matematika Peminatan Kelas X Tafsiran Geometri dari Kedudukan Vektor
# 10
Pilgan

Diketahui A(5, 1, 8)A\left(-5,\ -1,\ -8\right), B(1, 1, 2)B\left(-1,\ 1,\ -2\right), dan C(1, 2, 1)C\left(1,\ 2,\ 1\right). Jika A, B,A,\ B, dan CC segaris (kolinear), maka AB:BC\overrightarrow{AB}:\overrightarrow{BC} adalah ....

A

1 : 21\ :\ 2

B

2 : 12\ :\ 1

C

1 : 31\ :\ 3

D

3 : 13\ :\ 1

E

2 : 32\ :\ 3

Pembahasan:

Diketahui:

A(5, 1, 8)A\left(-5,\ -1,\ -8\right)

B(1, 1, 2)B\left(-1,\ 1,\ -2\right)

C(1, 2, 1)C\left(1,\ 2,\ 1\right)

A, B, CA,\ B,\ C segaris (kolinear)

Ditanya:

AB:BC=?\overrightarrow{AB}:\overrightarrow{BC}=?

Jawab:

Jika tiga buah titik A, B,A,\ B, dan CC segaris (kolinear), maka vektor yang dibentuk oleh dua dari tiga titik tersebut akan saling berkelipatan atau memiliki perbandingan.

Dari koordinat titik yang diberikan, diperoleh:

AB=BA\overrightarrow{AB}=B-A

 AB=(1, 1, 2)(5, 1, 8)\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(-1,\ 1,\ -2\right)-\left(-5,\ -1,\ -8\right)

 AB=((1(5)), (1(1)), (2(8)))\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(\left(-1-\left(-5\right)\right),\ \left(1-\left(-1\right)\right),\ \left(-2-\left(-8\right)\right)\right)

 AB=((1+5), (1+1), (2+8))\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(\left(-1+5\right),\ \left(1+1\right),\ \left(-2+8\right)\right)

 AB=(4, 2, 6)\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(4,\ 2,\ 6\right)

BC=CB\overrightarrow{BC}=C-B

 BC=(1, 2, 1)(1, 1, 2)\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(1,\ 2,\ 1\right)-\left(-1,\ 1,\ -2\right)

 BC=((1(1)), (21), (1(2)))\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(\left(1-\left(-1\right)\right),\ \left(2-1\right),\ \left(1-\left(-2\right)\right)\right)

 BC=((1+1), (21), (1+2))\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(\left(1+1\right),\ \left(2-1\right),\ \left(1+2\right)\right)

 BC=(2, 1, 3)\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(2,\ 1,\ 3\right)

Dengan demikian,

 ABBC=(4, 2, 6)(2, 1, 3)\frac{\ \overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{BC}}=\frac{\left(4,\ 2,\ 6\right)}{\left(2,\ 1,\ 3\right)}

  ABBC=2(2, 1, 3)(2, 1, 3)\Leftrightarrow\ \frac{\ \overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{BC}}=\frac{2\left(2,\ 1,\ 3\right)}{\left(2,\ 1,\ 3\right)}

  ABBC=21\Leftrightarrow\ \frac{\ \overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{BC}}=\frac{2}{1}

sehingga diperoleh AB:BC=2:1.\ \overrightarrow{AB}:\overrightarrow{BC}=2:1. .

Jadi,  AB:BC=2:1.\ \overrightarrow{AB}:\overrightarrow{BC}=2:1.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10