Diketahui:

$\overrightarrow{a}=\left(-2,\ -3,\ 1\right)$

$\overrightarrow{b}=\left(3,\ m,\ 3\right)$

$\overrightarrow{c}=\left(2,\ -4,\ 5\right)$

$\overrightarrow{a}\ \perp\ \overrightarrow{b}$

Ditanya:

$\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\cdot\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=?$

Jawab:

Jika $\overrightarrow{a}\$ dan $\overrightarrow{b}\$ saling tegak lurus, maka $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\ =0$ , sehingga dapat ditulis

$\left(-2,\ -3,\ 1\right)\cdot\left(3,\ m,\ 3\right)=0$

$\Leftrightarrow\ \left(-2\right)\left(3\right)+\left(-3\right)\left(m\right)+\left(1\right)\left(3\right)=0$

$\Leftrightarrow\ -6+\left(-3m\right)+3=0$

$\Leftrightarrow\ -3-3m=0$

$\Leftrightarrow\ -3m=3$

$\Leftrightarrow\ m=\frac{3}{-3}$

$\Leftrightarrow\ m=-1$

Maka, kita dapat menemukan $\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$ dan $\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$

$\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\left(-2,\ -3,\ 1\right)-\left(3,\ -1,\ 3\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\left[\left(-2-3\right),\ \left(-3-\left(-1\right)\right),\ \left(1-3\right)\right]$

$\Leftrightarrow\ \left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\left(-5,\ -2,\ -2\right)$

$\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\left(3,\ -1,\ 3\right)+\left(2,\ -4,\ 5\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\left[\left(3+2\right),\ \left(-1+\left(-4\right)\right),\ \left(3+5\right)\right]$

$\Leftrightarrow\ \left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\left(5,\ -5,\ 8\right)$

Sehingga,

$\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\cdot\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(-5,\ -2,\ -2\right)\cdot\left(5,\ -5,\ 8\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(-5\right)\left(5\right)+\left(-2\right)\left(-5\right)+\left(-2\right)\left(8\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(-25\right)+10+\left(-16\right)$

$\Leftrightarrow\ -25+10-16$

$\Leftrightarrow\ -31$

Jadi, nilai dari $\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\cdot\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$ adalah -31.