Diketahui:

$A\left(6,\ -1,\ -5\right)\ \Leftrightarrow\ \overrightarrow{a}=\left(6,\ -1,\ -5\right)$

$B\left(2,\ -5,\ -1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \overrightarrow{b}=\left(2,\ -5,\ -1\right)$

$P$ membagi $\overrightarrow{AB}$ di dalam dengan perbandingan $3:1$, maka

$\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=3:1$

Ditanya:

Koordinat titik P=?

Jawab:

Jika titik $P$ membagi garis $AB$ di dalam dengan rasio $m:n$. Misalkan $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$, dan $\overrightarrow{p}$ merupakan vektor posisi $A,\ B,$ dan $P$, sehingga

$\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=m:n$, maka

$\overrightarrow{p}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}$

$\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=3:1$ atau dapat diilustrasikan seperti gambar di bawah ini.

$P=\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{p}$

$\Leftrightarrow\ \frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}$

$\Leftrightarrow\ \frac{1\left(6,\ -1,\ -5\right)+3\left(2,\ -5,\ -1\right)}{3+1}$

$\Leftrightarrow\ \frac{\left(6,\ -1,\ -5\right)+\left(3\left(2\right),\ 3\left(-5\right),\ 3\left(-1\right)\right)}{4}$

$\Leftrightarrow\ \frac{\left(6,\ -1,\ -5\right)+\left(6,\ -15,\ -3\right)}{4}$

$\Leftrightarrow\ \frac{\left[\left(6+6\right),\ \left(-1+\left(-15\right)\right),\ \left(-5+\left(-3\right)\right)\right]}{4}$

$\Leftrightarrow\ \frac{\left(12,\ -16,\ -8\right)}{4}$

$\Leftrightarrow\ \left(\frac{12}{4},\ \frac{-16}{4},\ \frac{-8}{4}\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(3,\ -4,\ -2\right)$

Jadi, koordinat titik $P$ adalah $\left(3,\ -4,\ -2\right).$