Diketahui:

$\overrightarrow{a}=-5\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}-8\overrightarrow{z}\Leftrightarrow\ \overrightarrow{a}=\left(-5,\ -1,\ -8\right)$

$\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}-2\overrightarrow{z}\Leftrightarrow\ \overrightarrow{b}=\left(-1,\ 1,\ -2\right)$

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{x}+m\overrightarrow{y}+n\overrightarrow{z}\Leftrightarrow\ \overrightarrow{c}=\left(1,\ m,\ n\right)$

$A,\ B,\ C$ segaris (kolinear)

Ditanya:

$m=?$

$n=?$

Jawab:

Jika tiga buah titik $A,\ B,$ dan $C$ segaris (kolinear), maka vektor yang dibentuk oleh dua dari tiga titik tersebut akan saling berkelipatan atau memiliki perbandingan.

$\overrightarrow{AB}=k\cdot\overrightarrow{BC}$

Dari koordinat titik yang diberikan, diperoleh:

$\overrightarrow{AB}=B-A=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(-1,\ 1,\ -2\right)-\left(-5,\ -1,\ -8\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(\left(-1-\left(-5\right)\right),\ \left(1-\left(-1\right)\right),\ \left(-2-\left(-8\right)\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(\left(-1+5\right),\ \left(1+1\right),\ \left(-2+8\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(4,\ 2,\ 6\right)$

$\overrightarrow{BC}=C-B=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(1,\ m,\ n\right)-\left(-1,\ 1,\ -2\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(\left(1-\left(-1\right)\right),\ \left(m-1\right),\ \left(n-\left(-2\right)\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(\left(1+1\right),\ \left(m-1\right),\ \left(n+2\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(2,\ \left(m-1\right),\ \left(n+2\right)\right)$

Dengan demikian,

$\overrightarrow{AB}=k\cdot\overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow\ \left(4,\ 2,\ 6\right)=k\cdot\left(2,\ \left(m-1\right),\ \left(n+2\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(4,\ 2,\ 6\right)=\left(2k,\ \left(m-1\right)k,\ \left(n+2\right)k\right)$

Perhatikan suku-suku yang bersesuaian sehingga diperoleh

$4=2k\ \Leftrightarrow\ k=2$

Substitusi $k=2$ sehingga

$\Leftrightarrow\ \left(4,\ 2,\ 6\right)=\left(2\left(2\right),\ \left(m-1\right)\left(2\right),\ \left(n+2\right)\left(2\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(4,\ 2,\ 6\right)=\left(4,\ \left(2m-2\right),\ \left(2n+4\right)\right)$, maka

$2m-2=2\ \Leftrightarrow\ 2m=4\ \Leftrightarrow m=2$

$2n+4=6\Leftrightarrow\ 2n=2\ \Leftrightarrow n=1$

Jadi, nilai $m$ dan $n$ berturut-turut adalah 2 dan 1.