Latihan Matematika Wajib Kelas X Sistem Persamaan Dua Variabel
# 6
Pilgan

Diketahui

Himpunan penyelesaian (x,y)\left(x,y\right) untuk sistem persamaan kuadrat-kuadrat dua variabel di atas adalah ....

A

HP={(2,3),(3,−2),(2,13),(−2,13)}HP=\left\{\left(2,3\right),\left(3,-2\right),\left(\sqrt{2},\sqrt{\frac{1}{3}}\right),\left(-\sqrt{2},\sqrt{\frac{1}{3}}\right)\right\}

B

HP={(−3,2),(3,−2),(2167,−167),(−2167,167)}HP=\left\{\left(-3,2\right),\left(3,-2\right),\left(2\sqrt{\frac{16}{7}},-\sqrt{\frac{16}{7}}\right),\left(-2\sqrt{\frac{16}{7}},\sqrt{\frac{16}{7}}\right)\right\}

C

HP={(0,2)}HP=\left\{\left(0,2\right)\right\}

D

HP={(2,0),(1,−1)}HP=\left\{\left(2,0\right),\left(1,-1\right)\right\}

E

HP={(0,0),(23,−32),(1,−1),(23,−23)}HP=\left\{\left(0,0\right),\left(\sqrt{\frac{2}{3}},-\sqrt{\frac{3}{2}}\right),\left(1,-1\right),\left(\sqrt{\frac{2}{3}},-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\right\}

Pembahasan:

Persoalan sistem persamaan kuadrat-kuadrat dua variabel di atas dapat diselesaikan dengan cara faktorisasi-substitusi. Langkah-langkahnya adalah

Melakukan faktorisasi pada salah satu persamaan

Faktorkan persamaan 2x2+7xy+6y2=02x^2+7xy+6y^2=0

2x2+7xy+6y2=02x^2+7xy+6y^2=0

(2x+3y)(x+2y)=0\left(2x+3y\right)\left(x+2y\right)=0

(2x+3y)=0\left(2x+3y\right)=0 atau (x+2y)=0\left(x+2y\right)=0

Jadi, x=−32yx=-\frac{3}{2}y atau x=−2yx=-2y

Menggabungkan persamaan hasil faktorisasi dengan salah satu persamaan

Gabungkan persamaan linear di atas dengan salah satu persamaan. Sehingga diperoleh dua sistem persamaan linear-kuadrat

dan

Mencari penyelesaian dengan substitusi

*Sistem persamaan linear kuadrat yang pertama

subsitusikan x=−32yx=-\frac{3}{2}y ke persamaan 2x2+xy+y2=162x^2+xy+y^2=16

2x2+xy+y2=162x^2+xy+y^2=16

2(−32y)2+(−32y)y+y2=162\left(-\frac{3}{2}y\right)^2+\left(-\frac{3}{2}y\right)y+y^2=16

2(94y2)−32y2+y2=162\left(\frac{9}{4}y^2\right)-\frac{3}{2}y^2+y^2=16

92y2−32y2+y2=16\frac{9}{2}y^2-\frac{3}{2}y^2+y^2=16

62y2+y2=16\frac{6}{2}y^2+y^2=16

4y2=164y^2=16

y2=4y^2=4

y=±2y=\pm2

substitusikan nilai-nilai yy ke persamaan x=−32yx=-\frac{3}{2}y

untuk y=2y=2

x=−32yx=-\frac{3}{2}y

x=−32(2)x=-\frac{3}{2}\left(2\right)

x=−3x=-3

untuk y=−2y=-2

x=−32yx=-\frac{3}{2}y

x=−32(−2)x=-\frac{3}{2}\left(-2\right)

x=3x=3

Sehingga diperoleh solusi (−3,2)\left(-3,2\right) dan (3,−2)\left(3,-2\right)


*Sistem persamaan linear kuadrat yang kedua

substitusikan x=−2yx=-2y ke persamaan 2x2+xy+y2=162x^2+xy+y^2=16

2x2+xy+y2=162x^2+xy+y^2=16

2(−2y)2+(−2y)y+y2=162\left(-2y\right)^2+\left(-2y\right)y+y^2=16

2(4y2)−2y2+y2=162\left(4y^2\right)-2y^2+y^2=16

8y2−2y2+y2=168y^2-2y^2+y^2=16

7y2=167y^2=16

y2=167y^2=\frac{16}{7}

y=±167y=\pm\sqrt{\frac{16}{7}}

substitusikan nilai-nilai yy ke persamaan x=−2yx=-2y

untuk y=167y=\sqrt{\frac{16}{7}}

x=−2yx=-2y

x=−2167x=-2\sqrt{\frac{16}{7}}

untuk y=−167y=-\sqrt{\frac{16}{7}}

x=−2yx=-2y

x=−2(−167)x=-2\left(-\sqrt{\frac{16}{7}}\right)

x=2167x=2\sqrt{\frac{16}{7}}

sehingga solusi yang diperoleh (2167,−167)\left(2\sqrt{\frac{16}{7}},-\sqrt{\frac{16}{7}}\right) dan (−2167,167)\left(-2\sqrt{\frac{16}{7}},\sqrt{\frac{16}{7}}\right)

Maka, HP={(−3,2),(3,−2),(2167,−167),(−2167,167)}HP=\left\{\left(-3,2\right),\left(3,-2\right),\left(2\sqrt{\frac{16}{7}},-\sqrt{\frac{16}{7}}\right),\left(-2\sqrt{\frac{16}{7}},\sqrt{\frac{16}{7}}\right)\right\}

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10