Contoh Soal

Pembahasan:

Sifat-sifat garis singgung lingkaran:

• Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan diameter lingkaran yang melalui titik singgungnya. titik singgung adalah titik perpotongan garis singgung dengan lingkaran.

• Melalui satu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu dan hanya satu garis singgung pada lingkaran

Garis merah bukan merupakan garis singgung lingkaran.

• Melalui suatu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung lingkaran

• Apabila dua garis singgung berpotongan pada suatu titik di luar lingkaran, maka jarak antara titik potong tersebut dengan titik-titik singgung kedua garis singgung tersebut sama.

• Sifat yang keempat ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema pythagoras. Karena segitiga-segitiga POR dan POQ adalah segitiga siku-siku, maka $PQ^{2\ }=PO^{2\ }-r^{2\ }$ dan $PR^{2\ }=PO^{2\ }-r^2$ . Sehingga $PQ=PR$.

Jadi, yang merupakan garis singgung lingkaran adalah gambar B.

Pembahasan:

Cara melukis garis singgung melalui titik singgung, yaitu:

• Hubungkan titik pusat O dan titik S.
• Buat garis tegak lurus garis OS sehingga garis tersebut merupakan garis singgung lingkaran.

Jadi, banyaknya garis singgung yang melalui titik S adalah 1 (satu).

Pembahasan:

Perhatikan gambar pada soal.

• Garis g memotong lingkaran tepat di 2 (dua) titik, yaitu: A dan B.
• Garis l memotong lingkaran tepat di 1 (satu) titik, yaitu: C.

Jadi, pernyataan yang tidak benar adalah garis l menyinggung lingkaran.

Pembahasan:

Cara melukis garis singgung melalui titik di luar lingkaran, yaitu:

• Hubungkan titik pusat O dan titik A.
• Buat lingkaran yang melalui O dan A dengan pusat titik tengah OA.
• Perpotongan antara lingkaran baru dan lingkaran lama merupakan titik singgung dari garis singgung yang melalui titik A.
• Hubungkan perpotongan tersebut dengan titik A.

Jadi, banyaknya garis singgung yang dapat ditarik dari titik A adalah 2 (dua).

Pembahasan:

Diketahui:

Panjang jari-jari roda depan (R) = 5 cm

Panjang jari-jari lingkaran belakang (r) = 25 cm

Jarak titik pusat kedua roda (k) = 75 cm

Ditanyakan:

Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran (l)

Penyelesaian:

$l=\sqrt{k^2-\left(R-r\right)^2}$

$l=\sqrt{75^2-\left(25-5\right)^2}$

$l=\sqrt{5625-\left(20\right)^2}$

$l=\sqrt{5625-400}$

$l=\sqrt{5225}$

$l=72,28\ cm$

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran penggiling kayu adalah 72,28 cm.

Pembahasan:

Diketahui:

$\angle$AOB = 68^o

Ditanya:

$\angle$OAB?

Dijawab:

Perhatikan gambar pada soal.

$\angle$OAB = 180^o - ($\angle$AOB + $\angle$ABO)

$\leftrightarrow$ $\angle$OAB = 180^o - (68^o + 90^o)

$\leftrightarrow\$$\angle$OAB = 180^o - 158^o

$\leftrightarrow$ $\angle$OAB = 22^o.

Jadi, besar sudut OAB adalah 22^o.

Pembahasan:

Diketahui:

Lingkaran dengan pusat O berjari-jari r1 = 9 cm

Lingkaran dengan pusat P berjari-jari r2 = 4 cm

Jika panjang garis singgung persekutuan dalam KN = LM = 12 cm

Ditanya:

Jarak pusat O ke P

Penyelesaian:

$OP\ =\ \sqrt{\left(r1-r2\right)+KN^2}$

$OP\ =\ \sqrt{\left(9-4\right)^2+12^2}\$

$OP\ =\ \sqrt{5^2+12^2}\$

$OP\ =\ \sqrt{25+144}\$

$OP\ =\ \sqrt{169}\$

$OP\ =\ 13\ cm$

Jadi, jarak pusat O ke P adalah 13 cm.

Pembahasan:

Diketahui :

• AOBP merupakan layang-layang garis singgung pada lingkaran dengan titik pusat O berjari-jari = 8 cm
• Jarak titik O ke titik P adalah = 17 cm.

Ditanya:

Panjang garis BP

Penyelesaian:

$BP^2=OP^2-OB^2$

$BP^2=17^2-8^2$

$BP^2=289-64$

$BP^2=225$

$BP=\sqrt{225}$

$BP=15\ cm$

Jadi, panjang garis BP adalah 15 cm.

Pembahasan:

Diketahui:

r1 = r2 = 21 m

Ditanya:

Panjang tali yang dibutuhkan Tia

Penyelesaian:

Garis singgung persekutuan lingkaran

$l^2=p^2-\left(r1-r2\right)^2$

$l^2=5^2-\left(21-21\right)^2$

$l^2=5^2-\left(0\right)^2$

$l=5\ cm$

Keliling lingkaran:

$K\ =\ 2\ \pi\ r$

$K\ =\ 2\ \times3,14\times21$

$K\ =\ 131,88\ cm$

Panjang tali yang dibuthkan =

$\left(2\times\left(\frac{1}{2}\right)\times keliling\ lingkaran\right)+2l$

$2\times\frac{1}{2}\times131,88+2\times5$

$131,88+10$

$141,88\ cm$

Jadi, panjang tali yang dibutuhkan adalah 141, 8 cm.

Pembahasan:

Diketahui :

r1 = r2 = r3 =14 m

Ditanya :

sabuk lilitan minimal untuk mengikat tiga pipa

Penyelesaian :

GS = Garis singgung persekutuan luar lingkaran

$\frac{1}{3\ }L$ = $\frac{1}{3\ }keliling\ lingkaran$

Jika dijumlahkan :

$Tali\ =\ 3\ GS\ +\ 3\left(\frac{1}{3}\right)keliling$

• Garis singgung lingkaran (GS)

$GS^2=JP^2-\left(r1-r2\right)^2$

$GS^2=14^2-\left(14-14\right)^2$

$GS^2=14^2-\left(0\right)^2$

$GS=14$

• $K=\pi d$
• $K=\frac{22}{7}\times\left(14\right)$
• $K=44\$

Jadi, tali yang dibutuhkan totalnya

= 3 GS + Keliling

$=3\times14\times44$

$=86\ cm$