Contoh Soal

Pembahasan:

Gambar 1 :

Noktah di atas menunjukkan pola bilangan persegipanjang.

Gambar 2 :

Noktah di atas menunjukkan pola bilangan segitiga.

Gambar 3 :

Noktah di atas menunjukkan pola bilangan ganjil (1, 3, 5, 7).

Gambar 4 :

Noktah di atas menunjukkan pola bilangan persegipanjang.

Pembahasan:

Segitiga Pascal

1. Angka 1 merupakan angka awal yang terdapat di puncak.
2. Setiap barisan selalu diawali dan diakhiri dengan angka 1.
3. Hasil penjumlahan antara dua bilangan yang berdampingan ditulis untuk membentuk barisan bilangan selanjutnya
4. Operasi hitung yang berlaku pada setiap baris adalah sama, dilakukan secara terus menerus hingga batas susunan bilangan yang diminta

Pembahasan:

Berikut adalah pola yang terbentuk pada segitiga pascal:

Baris pertama segitiga pascal dihitun dari puncak. Maka pola yang akan terbentuk pada baris ke-6 adalah 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1

Pembahasan:

Barisan bilangan yang diperoleh dari Pola Penambahan Tetap dapat diperoleh dari penambahan yang tetap dari suku sebelumnya.

Untuk bilangan asli, dilakukan penambahan satu-satu ($+1$ ), sehingga pilihan yang tepat adalah 1, 2, 3, 4, 5, ...

*Barisan 1, 3, 4, 7, 11, ...

Barisan tersebut merupakan barisan Fibonacci yang bukan diperoleh dari pola penambahan tetap

*Barisan 2, 3, 5, 8, 12, ...

Barisan tersebut diperoleh dari penambahan bilangan yang tidak tetap, yaitu bilangan asli secara berurutan yang dimulai dari angka 1.

*Barisan 3, 4, 4, 6, 12, 15, ...

Barisan tersebut tidak diperoleh dari penambahan bilangan tetap, tetapi penjumlahan (penambahan) dan perkalian secara bergantian dengan bilangan asli yang dimulai dari angka 1.

Pembahasan:

Rasio antar suku dalam barisan geometri dicari dengan:

$r=\frac{U_n}{U_{n-1}}$

Dari barisan geometri di soal, dapat diketahui

$U_1=m$ , $U_2=2m+3$ , $U_3=4m+9$

1) Sebelum menghitung rasio, kita perlu mengetahui nilai m. Nilai m dapat diperoleh dengan membuat persamaan rasio barisan geometri.

r = $\frac{U_2}{U_1}=\frac{U_3}{U_2}$

$\frac{2m+3}{m}$ = $\frac{4m\ +\ 9}{2m\ +\ 3}$

$\left(2m+3\right)\left(2m+3\right)=m\left(4m+9\right)$

$4m^2+6m+6m+9=4m^2+9m$

$4m^2-4m^2+6m+6m-9m=-9$

$3m=-9$

$m=-3$

2) Substitusi nilai m ke suku-suku yang diketahui

$U_1=m=-3$

$U_2=2m+3=2.-3+3=-3$

$U_3=4m+9=4.-3+9=-3$

3) Cari rasio

$r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{-3}{-3}=1$

Pembahasan:

Diketahui:

$U_n=6n-5$

Suatu suku mempunyai nilai 103, maka $U_n=103$. Substitusi nilai $U_n=103$ ke $U_n=6n-5$.

$103=6n-5$

$103+5=6n$

$108=6n$

$n=18$

Pembahasan:

Barisan bilangan Fibonacci adalah barisan bilangan yang diperoleh dari penjumlahan 2 suku sebelumnya.

Bentuk umum untuk barisan bilangan Fibonacci adalah

$a,\ b,\ \left(a+b\right),\ \left(b+\left[a+b\right]\right),\ ...$

Pada barisan ini diketahui suku ke-2 atau U₂ = 9 dan suku ke-8 U₈ = 157. Pada dasarnya barisan Fibonacci hanya berawal dari 2 angka/suku yang dijumlahkan secara terus menerus.

Coba perhatikan tabel di bawah ini!

$$

Berdasarkan tabel di atas, dapat dihitung bahwa :

U₈ = U₆ + U₇

= (3a + 5b) + (5a + 8b)

= 8a + 13b

Diketahui b = U₂ = 9, maka :

U₈ = 8a + (13$\times$9)

157 = 8a + 117

8a = 157 - 117

a =$\frac{40}{8}$

a = 5

Jadi, suku awal barisan Fibonacci tersebut adalah 5.

Pembahasan:

Perhatikan pola persegi berwarna merah. Barisan bilangan yang terbentuk:

$3,\ 7,\ 11,\ ...$

Setelah memperhatikan pola persegi warna merah pada gambar, diketahui terdapat penambahan 4 satuan persegi pada setiap pola yang baru. Sehingga dapat diketahui bahwa gambar membentuk barisan Aritmatika.

Maka,

Suku pertama = a = 3

Selisih antar suku / beda = b = 7 - 3 = 4

Rumus menentukan suku ke-n pada barisan Aritmetika adalah,

U_n = $a\ +\ \left(n-1\right)b$

Jadi, jumlah persegi warna merah pada pola/suku ke-61 adalah

U₆₁ = 3 + (61 - 1) 4

U₆₁ = 3 + 240

U₆₁ = 243 satuan persegi

Pembahasan:

Langkah pertama adalah mencari nilai n dari rumus $S_n$ yang tersedia. Perlu diingat bahwa $a=S_1$ karena jumlah 1 suku sama dengan suku awal barisan/deret tersebut. Oleh karena itu, kita masukkan $n=1$ ke $S_n=2n^2+3n$ .

$S_1=2\left(1\right)^2+3\left(1\right)$

$S_1=2+3$

$S_1=a=5$

Langkah kedua, cari beda deret tersebut

Untuk mengetahui beda deret tersebut, cari $S_2$

$S_2=2\left(2\right)^2+3\left(2\right)$

$S_2=2\left(4\right)+3\left(2\right)$

$S_2=8+6$

$S_2=14$ $\rightarrow$ artinya jumlah 2 suku pertama adalah 14

Maka, suku ke-2 $\left(U_2\right)$ bisa kita cari dengan cara $S_2-a$ = 14 - 5 = 9

$b=U_2-U_1=9-5=4$

Langkah terakhir, cari nilai $U_9$

$U_n=a+\left(n-1\right)b$

$U_9=5+\left(9-1\right)4$

$U_9=5+8.4$

$U_9=5+32$

$U_9=37$

Pembahasan:

Rumus umum barisan Aritmetika :

U_n = $a+\left(n-1\right)b$

Dimana,

a = Suku pertama barisan

b = Beda selisih antar suku berurutan

n = Urutan bilangan (Suku ke-)

Diketahui :

U₁ = m + 2

U₂ = 2m

U₃ = 31

b = U₂ - U₁

= 2m - (m + 2)

= 2m - m - 2

= m - 2

Untuk mencari nilai suku ke-2, perlu mengetahui besar nilai m.

U₃ = U₂ + b

31 = 2m + (m - 2)

31 = 3m - 2

3m = 33

m = 11

Maka, beda antar suku dapat dihitung dengan cara substitusi nilai y ke dalam persamaan b

b = m - 2

= 11 - 2

= 9