Contoh Soal

Pembahasan:

Ingat bahwa $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$ maka:

$\int\frac{a}{bx^n}dx=\int\frac{a}{b}x^{-n}dx$

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

Sehingga didapatkan:

$\int\frac{a}{bx^n}dx$

$=\int\frac{a}{b}x^{-n}dx$

$=\frac{a}{b(-n+1)}x^{(-n+1)}+C$; ingat bahwa $x^n=\frac{1}{x^{-n}}$ maka:

$=\frac{a}{b(-n+1)x^{-(-n+1)}}+C$; dikombinasikan $\left(-n+1\right)=\left(1-n\right)$ maka:

$=\frac{a}{b(1-n)x^{-(-n+1)}}+C$

$$$=\frac{a}{b(1-n)x^{n-1}}+C$

Jadi, $\int\frac{a}{bx^n}dx=\frac{a}{b(1-n)x^{n-1}}+C$

Pembahasan:

Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Integral Penjumlahan dan Pengurangan, yaitu:

$\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx$

dan $\int adx=ax+C$

Maka menjadi:

$\int(4y^3+3y^2-y+2)dy$

$=\int4y^3dy+\int3y^2dy-\int ydy+\int2dy$

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

Sehingga didapatkan:

$\int(4y^3+3y^2-y+2)dy$

$=\int4y^3dy+\int3y^2dy-\int ydy+\int2dy$

$=\frac{4}{(3+1)}y^{(3+1)}+\frac{3}{(2+1)}y^{(2+1)}-\frac{1}{(1+1)}y^{(1+1)}+2y+C$

$=\frac{4}{4}y^4+\frac{3}{3}y^3-\frac{1}{2}y^2+2y+C$

$=y^4+y^3-\frac{1}{2}y^2+2y+C$

Jadi, $\int(4y^3+3y^2-y+2)dy=y^4+y^3-\frac{1}{2}y^2+2y+C$

Pembahasan:

Pada integral di atas, $n=7$

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

$\int4x^7dx=\frac{4}{7+1}x^{7+1}+C$

$=\frac{4}{8}x^8+C$

$=\frac{1}{2}x^8+C$

Jadi, hasil integral fungsi tersebut adalah $\frac{1}{2}x^8+C$

Pembahasan:

Misalkan $u=x^3+6$ , maka $du=3x^2 dx$ $\Leftrightarrow dx=\frac{du}{3x^2}$

Sehingga menjadi:

$\int\frac{2x^2}{\sqrt{x^3+6}}dx=2\int\frac{1}{\sqrt{x^3+6}}x^2dx$

$=2\int\frac{1}{\sqrt{u}}x^2\frac{du}{3x^2}$

$=2\int\frac{1}{\sqrt{u}}\frac{du}{3}$, ingat bahwa $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2\ }}$ dan $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$

$=\frac{2}{3}\int u^{-\frac{1}{2}}du$, untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka $\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

$=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}u^{-\frac{1}{2}+1}\right)+C$

$=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}u^{-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}\right)+C$

$=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{\frac{1}{2}}u^{\frac{1}{2}}\right)+C$

$=\frac{2}{3}\left(2u^{\frac{1}{2}}\right)+C$

$=\frac{4}{3}\sqrt{u}+C$

$=\frac{4}{3}\sqrt{x^3+6}+C$

Jadi, hasil integral substitusi tersebut adalah $\frac{4}{3}\sqrt{x^3+6}+C$

Pembahasan:

Ingat bahwa $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$ maka:

$\int6(x^5-\frac{1}{x^2})dx$

$=\int(6x^5-6\frac{1}{x^2})dx$

$=\int(6x^5-6x^{-2})dx$

Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Integral Penjumlahan dan Pengurangan, yaitu:

$\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx$

Maka menjadi:

$$ $\int(6x^5-6x^{-2})dx$

$=\int6x^5dx-\int6x^{-2}dx$

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

Sehingga didapatkan:

$\int6(x^5-\frac{1}{x^2})dx$

$=\int6x^5dx-\int6x^{-2}dx$

$=\frac{6}{(5+1)}x^{(5+1)}-\frac{6}{(-2+1)}x^{(-2+1)}+C$

$=\frac{6}{6}x^6-\frac{6}{(-1)}x^{-1}+C$

$=x^6+6x^{-1}+C$; ingat bahwa $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$

$=x^6+\frac{6}{x}+C$

Jadi, $\int6(x^5-\frac{1}{x^2})dx=x^6+\frac{6}{x}+C$

Pembahasan:

Diketahui:

Gradien garis singgung kurva tersebut adalah $\frac{dy}{dx}=4x-3$

Melalui titik $\left(1,5\right)$

Ditanya:

Persamaan kurva $y=f\left(x\right)$

Dijawab:

$\frac{dy}{dx}=4x-3$

$\Leftrightarrow dy=(4x-3)dx$

$\Leftrightarrow\int dy=\int(4x-3)dx$

$\Leftrightarrow y=\int(4x-3)dx$

Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dikurangkan dan dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Integral Penjumlahan dan Pengurangan, yaitu:

$\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx$

Maka menjadi:

$y=\int(4x-3)dx$

$\Leftrightarrow y=\int4xdx-\int3dx$

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$ dan $\int adx=ax+C$

Sehingga didapatkan:

$y=\int4xdx-\int3dx\$

$\Leftrightarrow y=\frac{4}{(1+1)}x^{(1+1)}-3x+C$

$\Leftrightarrow y=\frac{4}{2}x^2-3x+C$

$\Leftrightarrow y=2x^2-3x+C$

Kurva melalui titik $(1,5)$ artinya $x=1$ dan $y=5$, maka akan diperoleh konstanta $C$ sebagai berikut:

$y=2x^2-3x+C$

$\Leftrightarrow5=2(1)^2-3(1)+C$

$\Leftrightarrow5=2-3+C$

$\Leftrightarrow5=-1+C$

$\Leftrightarrow5+1=C$

$\Leftrightarrow C=6$

Jadi, persamaan kurva tersebut adalah $y=2x^2-3x+6$

Pembahasan:

Hubungan fungsi $v\left(t\right)$ dan $a\left(t\right)$ adalah sebagai berikut.

$v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt$

Karena benda mempunyai kecepatan awal 2 meter/detik, maka persamaannya menjadi:

$v\left(t\right)=v\left(0\right)+\int a\left(t\right)dt$

$=2+\int\left(2t-1\right)^2dt$, untuk $f\left(x\right)=\left(ax+b\right)^n,\ n\ne-1$ maka $\int\left(ax+b\right)^ndx=\frac{1}{a\left(n+1\right)}\left(ax+b\right)^{n+1}+C$

$=2+\left(\frac{1}{2\left(2+1\right)}\left(2t-1\right)^{2+1}\right)$

$=2+\left(\frac{1}{6}\left(2t-1\right)^3\right)$

Setelah 3 detik, kecepatannya menjadi:

$v\left(3\right)=2+\left(\frac{1}{6}\left(2\left(3\right)-1\right)^3\right)$

$=2+\left(\frac{1}{6}\left(5\right)^3\right)$

$=2+\left(\frac{1}{6}\left(125\right)\right)$

$=2+20,83$

$=22,83$

Jadi, kecepatan benda tersebut menjadi 22,83 meter/detik

Pembahasan:

1) Uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan integral perkalian skalar

$\int k\ f\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx$, untuk setiap bilangan real $k$

$\int2\sqrt{x}dx=2\int\sqrt{x}dx$

2) Mengubah bentuk akar ke bentuk eksponen (pangkat) dengan menggunakan sifat $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

$2\int\sqrt{x}dx=2\int\left(x^{\frac{1}{2}}\right)dx$

3) Nilai $n=\frac{1}{2}$

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

$2\int\left(x^{\frac{1}{2}}\right)dx=2\left(\frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}\right)+C$

$=2\left(\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}x^{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}\right)+C$

$=2\left(\frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}\right)+C$

$=2\left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right)+C$, ingat bahwa $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

$=2\left(\frac{2}{3}\left(x^{\frac{2}{2}}\right)\left(x^{\frac{1}{2}}\right)\right)+C$

$=2\left(\frac{2}{3}x\sqrt{x}\right)+C$

$=\frac{4}{3}x\sqrt{x}+C$

Jadi, hasil integral fungsi tersebut adalah $\frac{4}{3}x\sqrt{x}+C$

Pembahasan:

Ingat bahwa $\frac{a\pm b}{c}=\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}$ sehingga:

$\int\frac{6x^5-x}{x^3}dx=\int(\frac{6x^5}{x^3}-\frac{x}{x^3})dx$

Ingat bahwa $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$ maka:

$\int(\frac{6x^5}{x^3}-\frac{x}{x^3})dx$

$=\int(6x^{(5-3)}-x^{(1-3)})dx$

$=\int(6x^2-x^{-2})dx$

Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dikurangkan dan dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Integral Penjumlahan dan Pengurangan, yaitu:

$\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx$

Maka menjadi:

$\int(6x^2-x^{-2})dx=\int6x^2dx-\int x^{-2}dx$

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

Maka didapatkan:

$\int\frac{6x^5-x}{x^3}dx$

$=\int6x^2dx-\int x^{-2}dx$

$=\frac{6}{(2+1)}x^{(2+1)}-\frac{1}{(-2+1)}x^{(-2+1)}+C$

$=\frac{6}{3}x^3-\frac{1}{(-1)}x^{-1}+C$

$=2x^3+x^{-1}+C$; ingat bahwa $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$

$=2x^3+\frac{1}{x}+C$

$$Jadi, $\int\frac{6x^5-x}{x^3}dx=2x^3+\frac{1}{x}+C$

Pembahasan:

Untuk $f\left(x\right)=\left(ax+b\right)^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int\left(ax+b\right)^ndx=\frac{1}{a\left(n+1\right)}\left(ax+b\right)^{n+1}+C$

Dari fungsi $$ $\int(1-x)^2dx$ , diketahui nilai $a=-1$ karena $a$ merupakan koefisien dari $x$ dan nilai $n=2$ sehingga:

$\int(1-x)^2dx$

$=\frac{1}{-1(2+1)}(1-x)^{2+1}+C$

$=\frac{1}{-1(3)}(1-x)^3+C$

$=-\frac{1}{3}(1-x)^3+C$

Jadi, $\int(1-x)^2dx=-\frac{1}{3}(1-x)^3+C$