Contoh Soal

Pembahasan:

Diketahui:

$L_1$ dan $L_2$ saling bersinggungan di dalam

$L_2$ di dalam $L_1$

Diameter $L_1$ : $D$

Diameter $L_2$ : $d$

Ditanya:

Berapa jarak terjauh yang dihasilkan dari titik di $L_1$ dan $L_2$ ?

Dijawab:

Yang pertama harus kita lakukan adalah mengilustrasikan keadaan tersebut.

Dari gambar tersebut, kita dapat menemukan jarak titik mana yang merupakan jarak terjauh dari sekian banyak kemungkinan jarak antara 2 titik di kedua lingkaran tersebut. Karena lingkaran pertama bersinggungan dengan lingkaran kedua, maka jarak $B$ ke $E$ adalah jarak terjauh yang mungkin tercipta dari keadaan di atas.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa jarak terjauh dari kedua titik adalah $D$ (diameter lingkaran 1).

Pembahasan:

Ada tiga posisi titik $\left(a,b\right)$ pada lingkaran $x^2+y^2=r^2$

1. Jika $a^2+b^2<r^2$ maka titik berada di dalam lingkaran
2. Jika $a^2+b^2=r^2$ maka titik terletak di lingkaran
3. Jika $a^2+b^2>r^2$ maka titik berada di luar lingkaran

Jika titik $\left(a,b\right)$ berada di luar lingkaran $x^2+y^2=4$ maka berlaku

$a^2+b^2>4$

Pembahasan:

Diketahui:

Persamaan lingkaran: $x^2+y^2-y=4$

Ditanya:

Manakah titik yang berada pada lingkaran?

Dijawab:

Ingat bahwa suatu titik akan berada pada lingkaran jika memenuhi persamaan lingkarannya.

Berikut adalah beberapa kemungkinan kedudukan titik $\left(x_{1,}y_1\right)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2-y=4$ :

Titik berada pada lingkaran jika: $x_1^2+y_1^2-y_1=4$

Titik berada di dalam lingkaran jika: $x_1^2+y_1^2-y_1<4$

Titik berada di luar lingkaran jika: $x_1^2+y_1^2-y_1>4$

============================================

Untuk mengetahui kedudukan titik-titik yang ada, kita dapat mengeceknya satu-persatu.

-Titik $\left(3,2\right)$

$x^2+y^2-y=3^2+2^2-2=9+4-2=11\text{}>4$

-Titik $\left(-1,2\right)$

$x^2+y^2-y=\left(-1\right)^2+2^2-2=1+4-2=3\text{}<4$

-Titik $\left(2,2\right)$

$x^2+y^2-y=2^2+2^2-2=4+4-2=6>4$

-Titik $\left(2,1\right)$

$x^2+y^2-y=2^2+1^2-1=4+1-1=4$

-Titik $\left(1,1\right)$

$x^2+y^2-y=1^2+1^2-1=1+1-1=1<4$

Dari perhitungan tersebut, titik yang berada pada lingkaran adalah titik $\left(2,1\right)$.

Pembahasan:

Persamaan umum lingkaran dengan titik pusat $\left(a,b\right)$ dan jari-jari $r$ adalah

$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$

Dengan demikian,

$\left(x-p\right)^2+\left(y-\left(-q\right)\right)^2=r^2$

$\left(x-p\right)^2+\left(y+q\right)^2=r^2$

Pembahasan:

Diketahui:

Pusat lingkaran: $(1,2)$

Persamaan lingkaran:$x^2+y^2-2x-4y+1=0$

Ditanya:

Berapakah jari-jari lingkarannya?

Dijawab:

Dari soal tersebut, kita memiliki persamaan lingkaran dan juga pusat lingkarannya. Pusat lingkarannya adalah di titik $(1,2)$

Ingat bahwa persamaan lingkaran dengan pusat $\left(a,b\right)$ dengan $a,\ b\ \ne0$ memiliki bentuk umum:

$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$ di mana $r$ adalah besar jari-jari lingkaran

=============================================

Dari persamaan yang kita miliki yaitu $x^2+y^2-2x-4y+1=0$, kita harus mengubahnya ke bentuk umum:

$x^2+y^2-2x-4y+1=0$

$x^2-2x+y^2-4y+1=0$ (variabel yang sama dikelompokkan)

$\left(x^2-2x\right)+\left(y^2-4y\right)+1=0$

$\left(x-1\right)^2-1+\left(y-2\right)^2-4+1=0$

$\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2-4=0$

$\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=4$ (persamaan sudah dalam bentuk umum)

Selanjutnya kita dapat menentukan nilai dari $r$

$r^2=4$

$r=\sqrt{4}$

$r=2$ atau $r=-2$

Karena $r$ adalah jari-jari, maka nilai dari $r\ge0$ . Sehingga nilai dari $r$ atau jari-jari dari lingkaran tersebut adalah $2$ .

Pembahasan:

Diketahui:

Persamaan garis : $2x+y−3=0$ maka $y=-2x+3$

Persamaan lingkaran: $x^2+2x+y^2−4=0$

Ditanya:

Bagaimana kedudukan garis terhadap lingkaran?

Dijawab:

Kedudukan garis terhadap lingkaran memiliki 3 kemungkinan, di antaranya:

-Garis memotong lingkaran di 2 titik

-Garis menyinggung lingkaran

-Garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

Untuk mengetahui kedudukan garis terhadap lingkaran, kita harus mensubtitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran. Selanjutnya cari nilai diskriminannya.

Perlu diingat bahwa:

$D>0$ , berarti garis memotong lingkaran di 2 titik

$D=0$ , berarti garis menyinggung lingkaran

$D<0$ , berarti garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

=============================================

Langkah 1(subtitusi persamaan)

$x^2+2x+y^2−4=0$

$x^2+2x+\left(-2x+3\right)^2−4=0$

$x^2+2x+4x^2-12x+9−4=0$

$5x^2-10x+5=0$

Langkah 2(menentukan nilai diskriminan)

Dari $5x^2-10x+5=0$, $a=5,\ b=-10,\ c=5$. Maka dihasilkan:

$D=b^2-4ac$

$$$D=$ $\left(-10\right)^2-4\times5\times5$

$D=100-100$

$D=0$

Didapat nilai $D=0$, sehingga dapat disimpulkan bahwa garis tersebut menyinggung lingkaran.

Pembahasan:

Jika diketahui titik singgung $\left(p,q\right)$ pada lingkaran dengan:

1. Persamaan $x^2+y^2=r^2$ maka persamaan garis singgungya $px+qy=r^2$
2. Persamaan $\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$ maka persamaan garis singgungnya $\left(x-a\right)\left(p-a\right)+\left(y-b\right)\left(q-b\right)=r^2$
3. Persamaan $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ maka persamaan garis singgungnya $px+qy+\frac{1}{2}A\left(x+p\right)+\frac{1}{2}B\left(y+q\right)+C=0$

Diketahui titik $B\left(-1,3\right)$ pada lingkaran $x^2+y^2+4x-6y+9=0$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah

$\left(-1\right)x+\left(3\right)y+\frac{1}{2}\left(4\right)\left(x+\left(-1\right)\right)+\frac{1}{2}\left(-6\right)\left(y+3\right)+9=0$

$-x+3y+2\left(x-1\right)-3\left(y+3\right)+9=0$

$-x+3y+2x-2-3y-9+9=0$

$x-2=0$

Pembahasan:

Diketahui:

Titik pada lingkaran: $\left(3,-2\right)$ dan$\left(-1,-2\right)$

Jarak kedua titik tersebut adalah yang paling jauh yang dapat terbentuk pada lingkaran tersebut.

Ditanya:

Apakah persamaan lingkaran tersebut?

Dijawab:

Karena hasil jarak kedua titik tersebut adalah yang terjauh, maka jarak kedua titik adalah diameter lingkarannya.

Kita hitung dahulu jarak titiknya:

Diameter: $\sqrt{\left(-1-3\right)^2+\left(-2-\left(-2\right)\right)^2}$

Diameter: $\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(0\right)^2}$

Diameter: $\sqrt{16^{ }+0}$

Diameter: $\sqrt{16^{ }}$

Diameter: $4$ (tidak mengambil $-4$ karena ukuran panjang tidak boleh $0$)

Karena diameter dari lingkaran tersebut adalah $4$, maka jari-jarinya adalah $2$.

=============================================

Karena jarak yang dihasilkan adalah diameter, maka titik tengah dari kedua titik tersebut adalah titik pusat lingkaran.

Titik pusat: $\left(x_1,y_1\right)$

Titik 1: $\left(3,-2\right)$

Titik 2: $\left(-1,-2\right)$

$x_1=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1$

$y_1=\frac{-2-2}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

Sehingga didapat bahwa titik pusatnya adalah $\left(1,-2\right)$.

=============================================

Kita sudah mendapatkan jari-jari dan titik pusatnya, selanjutnya dapat dimasukkan ke dalam rumus persamaan lingkaran di titik $\left(a,b\right)$.

$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$

$\left(x-1\right)^2+\left(y-\left(-2\right)\right)^2=2^2$

$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=2^2$

$x^2-2x+1+y^2+4y+4=4$

$x^2-2x+y^2+4y+4+1-4=0$

$x^2-2x+y^2+4y+1=0$

Dari perhitungan tersebut, dapat disimpulkan bahwa persamaan lingkarannya adalah $$$x^2-2x+y^2+4y+1=0$ .

Pembahasan:

Diketahui:

garis $x=y-2$ memotong lingkaran $x^2+y^2-4x+3y-10=0$

titik potongnya adalah $A$ dan $B$

Ditanya:

tali busur $AB$ $=?$

Jawab:

Diketahui garis $x=y-2$ memotong lingkaran $x^2+y^2-4x+3y-10=0$ sehingga berlaku,

$x^2+y^2-4x+3y-10=0$

$\left(y-2\right)^2+y^2-4\left(y-2\right)+3y-10=0$

Lakukan penyederhanaan sehingga membentuk persamaan kuadrat

$y^2-4y+4+y^2-4y+8+3y-10=0$

$2y^2-5y+2=0$

$\left(2y-1\right)\left(y-2\right)=0$

$\left(2y-1\right)=0$ atau $\left(y-2\right)=0$

$y=\frac{1}{2}$ atau $y=2$

Substitutusikan nilai masing-masing $y$ untuk mengetahui nilai $x$

untuk $y=\frac{1}{2}$

$x=y-2$

$x=\frac{1}{2}-2$

$x=\frac{1}{2}-\frac{4}{2}$

$x=-\frac{3}{2}$

untuk $y=2$

$x=y-2$

$x=2-2$

$x=0$

Sehingga diperoleh titik $A\left(-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$ dan titik $B\left(0,2\right)$

Mencari panjang tali busur $AB$

Panjang tali busur $AB$ sama dengan jarak titik $A$ ke titik $B$. Rumus umum jarak suatu titik $\left(x_1,y_1\right)$ ke titik $\left(x_2,y_2\right)$ adalah

$d=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}$

Dengan demikian, panjang tali busur $AB$

$d=\sqrt{\left(-\frac{3}{2}-0\right)^2+\left(\frac{1}{2}-2\right)^2}$

$=\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2+\left(-\frac{3}{2}\right)^2}$

$=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}$

$=\sqrt{\frac{18}{4}}$

$=\sqrt{\frac{9}{4}\times2}$

$=\frac{3}{2}\sqrt{2}$

Pembahasan:

Diketahui:

lingkaran $x^2+y^2-9=0$

$g:3x+2y+1=0$

Ditanya:

Persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar dengan garis $g$ $=?$

Jawab:

Jika diketahui gradien garis singgung $m$ pada lingkaran dengan:

1. Persamaan $x^2+y^2=r^2$ maka persamaan garis singgungya $y=mx\pm r\sqrt{m^2+1}$
2. Persamaan $\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$ maka persamaan garis singgungnya $y-b=m\left(x-a\right)\pm r\sqrt{m^2+1}$

Diketahui garis singgung lingkaran $x^2+y^2-9=0$ sejajar dengan garis $g:3x+2y+1=0$ sehingga cari gradien garis singgung terlebih dahulu.

Mencari gradien garis singgung

Diketahui garis singgung sejajar dengan garis $g$ maka berlaku

$m_1=m_2$

Diketahui garis $g:3x+2y+1=0$ atau dapat ditulis $y=-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$ sehingga gradiennya adalah $-\frac{3}{2}$

Mencari persamaan garis singgung

Gunakan persamaan garis singgung $y=mx\pm r\sqrt{m^2+1}$

$y=-\frac{3}{2}x\pm3\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2+1}$

$y=-\frac{3}{2}x\pm3\sqrt{\frac{9}{4}+1}$

$y=-\frac{3}{2}x\pm3\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{4}{4}}$

$y=-\frac{3}{2}x\pm3\sqrt{\frac{13}{4}}$