Contoh Soal

Pembahasan:

Diketahui suatu fungsi yang diperoleh dari operasi penjumlahan fungsi lainnya $(H\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right))$. Turunan pertama dari fungsi $H$ dapat ditentukan dengan menggunakan konsep turunan berikut.

$H'\left(x\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{H\left(x+h\right)-H\left(x\right)}{h}$

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$H'\left(x\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{[f\left(x+h\right)+g\left(x+h\right)]-[f\left(x\right)+g\left(x\right)]}{h}$

$H'\left(x\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)+g\left(x+h\right)-f\left(x\right)-g\left(x\right)}{h}$

$H'\left(x\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{[f\left(x+h\right)-f\left(x\right)]+[g\left(x+h\right)-g\left(x\right)]}{h}$

$H'\left(x\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{[f\left(x+h\right)-f\left(x\right)]}{h}+\lim\limits_{h\to0}\frac{[g\left(x+h\right)-g\left(x\right)]}{h}$

$H'\left(x\right)=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Jadi, pernyataan yang benar berkaitan dengan sifat turunan fungsi adalah $H'\left(x\right)=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$.

Pembahasan:

Diketahui suatu fungsi $g\left(x\right)=kf\left(x\right)$ dengan $k$ merupakan bilangan konstan. Turunan pertama dari fungsi $g$ dapat ditentukan dengan konsep turunan berikut.

$g'\left(x\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}$

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$g'\left(x\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{kf\left(x+h\right)-kf\left(x\right)}{h}$

$g'\left(x\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{k\left[f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right]}{h}$

$g'\left(x\right)=k\lim\limits_{h\to0}\left[\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\right]$

$g'\left(x\right)=kf'\left(x\right)$

Jadi, turunan pertama dari $g\left(x\right)=kf\left(x\right)$ adalah $g'\left(x\right)=kf'\left(x\right)$.

Pembahasan:

Beberapa contoh aplikasi turunan dalam kehidupan sehari-hari antara lain:

1. menentukan biaya maksimum dan minimum dalam memproduksi suatu barang,
2. menghitung momen pada konstruksi balok sederhana dengan beban segitiga, dan
3. menentukan komposisi bahan bangunan dan pembuatan tiang-tiang bangunan.

Berdasarkan beberapa contoh di atas, pernyataan yang tepat berkaitan dengan aplikasi turunan fungsi adalah menentukan biaya maksimum dan minumun dalam memproduksi suatu barang.

Pembahasan:

Diketahui suatu fungsi komposisi $H\left(x\right)=\left[f\left(x\right)\right]^n$. Sesuai dengan salah satu sifat dalam turunan, maka turunan pertama dari fungsi tersebut adalah $H'\left(x\right)=n\left[f'\left(x\right)\right]^{n-1}.\ f\left(x\right)$.

Pembahasan:

Diketahui: $y=8x^3+36x^2+46x+21$

Ditanya: Persamaan garis singgung kurva di titik $\left(-1,3\right)$

Dijawab:

Jika $y=f\left(x\right)=ax^n$, dimana$$$$ $a,n\in R$ dan $a\ne0$ , maka turunan pertama fungsi $f$ dapat ditentukan menggunakan metode berikut.

$y'=f'\left(x\right)=anx^{n-1}$

Adapun hubungan antara gradien garis singgung dan turunan fungsi adalah sebagai berikut.

$m=y'$

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$m=\left(8\times3\right)x^{3-1}+\left(36\times2\right)x^{2-1}+\left(46\times1\right)x^{1-1}+0$

$m=24x^2+72x+46$

Gradien garis singgung kurva di titik $(-1,3)$ dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai $x=-1$ ke persamaan $m$, sehingga diperoleh:

$m=24\left(-1\right)^2+72(-1)+46=-2$

Persamaan garis singgung kurva dapat ditentukan dengan metode berikut.

$y-y_1=m\left(x-x_1\right)$

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$y-3=\left(-2\right)\left(x-(-1)\right)$

$y-3=-2x-2$

$2x+y=1$

Jadi, persamaan garis singgung kurva $y$ di titik $\left(-1,3\right)$ adalah $2x+y=1$.

Pembahasan:

Diketahui: $h\left(x\right)=\frac{2x+3}{x-6}$

Ditanya: $h'\left(x\right)$

Dijawab:

Bentuk umum dari fungsi rasional adalah $h\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ dengan $g\left(x\right)\ne0$. Turunan pertama dari fungsi tersebut dapat ditentukan dengan strategi berikut.

$h'\left(x\right)=\frac{f'\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g'\left(x\right)}{\left(g\left(x\right)\right)^2}$

Misalkan $f\left(x\right)=2x+3$ dan $g\left(x\right)=x-6$. Berdasarkan strategi di atas, diperoleh:

$f'\left(x\right)=2$

$g'\left(x\right)=1$

$h'\left(x\right)=\frac{f'\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g'\left(x\right)}{\left(g\left(x\right)\right)^2}$

$\ =\frac{2\times\left(x-6\right)-\left(2x+3\right)\times1}{\left(x-6\right)^2}$

$\ =\frac{2x-12-2x-3}{\left(x-6\right)^2}$

$\ =-\frac{15}{x^2-12x+36}$

Jadi, turunan pertama dari $h\left(x\right)=\frac{2x+3}{x-6}$ adalah $h'\left(x\right)=-\frac{15}{x^2-12x+36}$.

Pembahasan:

Diketahui: $y=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+3$

Ditanya: Interval ketika grafik suatu fungsi tidak pernah naik

Dijawab:

Jika $y=h\left(x\right)=ax^n$, dimana$$$$ $a,n\in R$ dan $a\ne0$ , maka turunan pertama fungsi $h$ dapat ditentukan dengan metode berikut.

$y'=h'\left(x\right)=anx^{n-1}$

Fungsi dikatakan tidak pernah naik pada interval $(a,b)$ jika memenuhi syarat $h'\left(x\right)<0$. Sebelumnya, kita tentukan terlebih dahulu nilai $h'\left(x\right)=0$, sehingga didapatkan titik stasioner $x$.

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$y'=h'\left(x\right)=\left(\frac{1}{3}\times3\right)x^{3-1}+\left(\frac{1}{2}\times2\right)x^{2-1}-\left(6\times1\right)x^{1-1}+0$

$h'\left(x\right)=x^2+x-6$

$h'\left(x\right)=0$

$x^2+x-6=0$

$(x+3)(x-2)=0\ \Rightarrow\ x=-3$ atau $x=2$

Jadi, fungsi $h$ stasioner di titik $x=-3$ dan $x=2$.

Nilai $h'\left(x\right)$ di sekitar $x=-3$ dan $x=2$ disajikan pada gambar di bawah ini.

• Untuk $x<-3$

Ambil nilai $x=-4$ dan substitusikan ke persamaan $h'\left(x\right)$.

$h'\left(-4\right)=\left(-4\right)^2+\left(-4\right)-6$

$=16-4-6$

$=6$

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)$ dikatakan selalu naik pada interval tersebut karena nilai $h'\left(x\right)>0$.

• Untuk $-3<x<2$

Ambil nilai $x=0$ dan substitusikan ke persamaan $h'\left(x\right)$.

$h'\left(0\right)=\left(0\right)^2+\left(0\right)-6=-6$

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)$ dikatakan tidak pernah naik pada interval tersebut karena nilai $h'\left(x\right)<0$.

• Untuk $x>2$

Ambil nilai $x=3$ dan substitusikan ke persamaan $h'\left(x\right)$.

$h'\left(3\right)=\left(3\right)^2+\left(3\right)-6$

$=9+3-6$

$=6$

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)$ dikatakan selalu naik pada interval tersebut karena nilai $h'\left(x\right)>0$.

Berdasarkan hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa fungsi tersebut tidak pernah naik pada interval $-3<x<2$.

Pembahasan:

$$Diketahui: $y=(2x+3)^5$

Ditanya: Persamaan garis normal kurva di titik $\left(-1,1\right)$

Dijawab:

Diketahui fungsi komposisi $y=H(x)=\left(f\left(x\right)\right)^n$, dimana fungsi $H$ dapat didiferensialkan di titik $x=c$. Turunan pertama fungsi $H$ dapat ditentukan dengan metode berikut.

$y'=H'\left(x\right)=n\left(f\left(x\right)\right)^{n-1}f'\left(x\right)$

Adapun hubungan antara gradien garis normal dan turunan fungsi adalah sebagai berikut.

$m_{norm}=-\frac{1}{H'(x)}$

Misalkan $f\left(x\right)=2x+3$. Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$f'\left(x\right)=2$

$$

$y'=H'(x)=5\left(2x+3\right)^{5-1}\left(2\right)=10\left(2x+3\right)^4$

$m_{norm}=-\frac{1}{10\left(2x+3\right)^4}$

$$

Gradien garis normal kurva di titik $\left(-1,1\right)$ dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai $x=-1$ ke persamaan $m_{norm}$, sehingga diperoleh:

$m_{norm}=-\frac{1}{10\left(2\left(-1\right)+3\right)^4}=-\frac{1}{10(-2+3)^4}=-\frac{1}{10}$

Persamaan garis normal kurva dapat ditentukan dengan metode berikut.

$y-y_1=m_{norm}\left(x-x_1\right)$

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$y-1=\left(-\frac{1}{10}\right)\left(x-\left(-1\right)\right)$

$-10y+10=x+1$ (Kalikan kedua ruas dengan $\left(-10\right)$)

$x+10y=9$

$$

Jadi, persamaan garis singgung kurva $y$ di titik $\left(-1,1\right)$ adalah $x+10y=9$.

Pembahasan:

Diketahui: $y=2x-5$

Ditanya: Jarak terdekat $\left(d\right)$ titik $\left(6,2\right)$ ke kurva

Dijawab:

Jarak antar 2 titik yang berdekatan dapat ditentukan dengan metode berikut.

$d=\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2}$

Substitusikan persamaan kurva dan titik $\left(6,2\right)$ ke

$d=\sqrt{\left(x-6\right)^2+\left(\left(2x-5\right)-2\right)^2}$

$\ \ \ =\sqrt{\left(x-6\right)^2+\left(2x-7\right)^2}$

$\ \ \ =\sqrt{\left(x^2-12x+36\right)+\left(4x^2-28x+49\right)}$

$d=\sqrt{5x^2-40x+85}=\left(5x^2-40x+85\right)^{\frac{1}{2}}$

Jarak terdekat titik dan kurva dapat ditentukan dengan cara mencari titik stasioner fungsi $d$ sebagai berikut.

$d'=0$

Jika $d=g\left(x\right)=\left(f\left(x\right)\right)^n$ dengan $f\left(x\right)\ne0$ dan $n\in R$ , maka turunan pertama fungsi $g$ dapat ditentukan dengan metode berikut.

$g'\left(x\right)=n\left(f\left(x\right)\right)^{n-1}f'\left(x\right)$

Misalkan $f\left(x\right)=5x^2-40x+85$. Berdasarkan kedua metode di atas, diperoleh:

$f'\left(x\right)=10x-40$

$d'=g'\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(5x^2-40x+85\right)^{\frac{1}{2}-1}\left(10x-40\right)=0$

$\left(5x^2-40x+85\right)^{-\frac{1}{2}}\left(5x-20\right)=0$

$\frac{5x-20}{\sqrt{5x^2-40x+85}}=0$

$5x-20=0\ \Rightarrow\ x=4$

Substitusikan nilai $x=4$ ke persamaan $d$, diperoleh:

$d=\sqrt{5\left(4\right)^2-40\left(4\right)+85}=\sqrt{5}$ satuan

Jadi, jarak titik $\left(6,2\right)$ ke kurva $y=2x-5$ adalah $d=\sqrt{5}$ satuan.

Pembahasan:

Diketahui: $y=-2x^3-3x^2+1$

Ditanya: Interval ketika suatu fungsi selalu naik

Dijawab:

Jika $y=h\left(x\right)=ax^n$, dimana$$$$ $a,n\in R$ dan $a\ne0$ , maka turunan pertama fungsi $h$ dapat ditentukan dengan metode berikut.

$y'=h'\left(x\right)=anx^{n-1}$

Fungsi dikatakan selalu naik pada interval $(m,n)$ jika memenuhi syarat $h'\left(x\right)>0$. Sebelumnya, kita tentukan terlebih dahulu nilai $h'\left(x\right)=0$, sehingga didapatkan titik stasioner $x$.

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$y'=h'(x)=\left(-2\times3\right)x^{3-1}-\left(3\times2\right)x^{2-1}$

$h'(x)=-6x^2-6x$

$h'\left(x\right)=0$

$-6x^2-6x=0$

$6x^2+6x=0$ (Kalikan kedua ruas dengan $\left(-1\right)$)

$6x\left(x+1\right)=0\ \Rightarrow\ x=-1\ \text{atau}\ x=0$

Jadi, fungsi $h$ stasioner di titik $x=-1$ dan $x=0$.

Nilai $h'\left(x\right)$ di sekitar $x=-1$ dan $x=0$ disajikan pada gambar di bawah ini.

• Untuk $x<-1$

Ambil nilai $x=-2$ dan substitusikan ke persamaan $h'\left(x\right)$.

$h'\left(-2\right)=-6\left(-2\right)^2-6\left(-2\right)$

$=-24+12$

$=-12$

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)$ dikatakan turun pada interval tersebut karena nilai $h'\left(x\right)<0$.

• Untuk $-1<x<0$

Ambil nilai $x=-\frac{1}{2}$ dan substitusikan ke persamaan $h'\left(x\right)$.

$h'\left(-2\right)=-6\left(-\frac{1}{2}\right)^2-6\left(-\frac{1}{2}\right)$

$=-\frac{3}{2}+3$

$=\frac{3}{2}$

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)$ dikatakan naik pada interval tersebut karena nilai $h'\left(x\right)>0$.

• Untuk $x>0$

Ambil nilai $x=1$ dan substitusikan ke persamaan $h'\left(x\right)$.

$h'\left(1\right)=-6\left(1\right)^2-6\left(1\right)$

$=-6-6$

$=-12$

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)$ dikatakan turun pada interval tersebut karena nilai $h'\left(x\right)<0$.

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)=-2x^3-3x^2+1$ selalu naik pada interval $-1<x<0$