Contoh Soal

Pembahasan:

1) Mencari titik potong sumbu- $x$ dan sumbu-$y$ tiap pertidaksamaan

2) Gambar grafik dan menentukan titik-titik pojok

Koordinat di titik C

Mencari nilai $y$ menggunakan metode eliminasi.

Menentukan nilai $x$ menggunakan metode substitusi

$2x+y=8$, di mana $y=6$

$2x+6=8$

$2x=8-6=2$

$x=1$

Titik-titik pojoknya adalah:

$A=\left(0,\ 4\right)$

$B=\left(4,\ 0\right)$

$C=\left(1,\ 6\right)$

3) Nilai Optimum

Jadi, nilai maksimum dari $f\left(x,y\right)=4x+y$ adalah 16

Pembahasan:

1) Mencari titik potong sumbu- $x$ dan sumbu-$y$ tiap pertidaksamaan

2) Gambar grafik dan menentukan titik-titik pojok

Koordinat di titik C

Mencari nilai $y$ menggunakan metode eliminasi. Pertidaksamaan yang dieliminasi adalah garis merah dengan kuning karena kedua garis tersebut yang saling berpotongan di titik C.

Menentukan nilai $x$ dengan metode subtitusi.

$x-4y=10$, dengan $y=-\frac{8}{11}$

$x-4\left(-\frac{8}{11}\right)=10$

$x=10-\frac{32}{11}$

$x=\frac{110-32}{11}$

$x=\frac{78}{11}$

Koordinat di titik D

Mencari nilai $y$ menggunakan metode eliminasi. Pertidaksamaan yang dieliminasi adalah garis biru dengan kuning karena kedua garis tersebut yang saling berpotongan di titik D.

Menentukan nilai $x$ dengan metode substitusi

$x-4y=10$, dengan $y=-\frac{28}{13}$, maka:

$x-4\left(-\frac{28}{13}\right)=10$

$x=10-\frac{112}{13}=\frac{130-112}{13}$

$x=\frac{18}{13}$

Titik-titik pojoknya adalah:

$A=\left(3,\ 0\right)$

$B=\left(6,\ 0\right)$

$C=\left(\frac{78}{11},\ -\frac{8}{11}\right)$

$D=\left(\frac{18}{13},\ -\frac{28}{13}\right)$

3) Nilai Optimum

Jadi, nilai maksimum dari $f\left(x,y\right)=143x+143y$ adalah 910

Pembahasan:

1) Mencari titik potong sumbu- $x$ dan sumbu-$y$ tiap pertidaksamaan

2) Gambar grafik dan menentukan titik-titik pojok

Koordinat di titik C

Mencari nilai $y$ menggunakan metode eliminasi.

Menentukan nilai $x$ menggunakan metode substitusi

$3x+4y=-12$, di mana $y=\frac{1}{3}$

$3x+4\left(\frac{1}{3}\right)=-12$

$3x=-12-\frac{4}{3}$

$3x=\frac{-36-4}{3}=-\frac{40}{3}$

$x=-\frac{40}{9}$

Titik-titik pojoknya adalah:

$A=\left(0,\ 3\right)$

$B=\left(-4,\ 0\right)$

$C=\left(-\frac{40}{9},\ \frac{1}{3}\right)$

3) Nilai Optimum

Jadi, nilai maksimum dari $f\left(x,y\right)=3x-2y$ adalah -6

Pembahasan:

Jumlah jam tangan sepasang: $x$

Jumlah jam tangan satuan: $y$

1) Jumlah semua jam

Jumlah jam tangan sepasang terjual paling sedikit 1, sehingga dapat ditulis $x\ge1$ dan jam tangan satuan paling banyak terjual 4, sehingga menjadi $y\le4$.

Total semua jam tangan yang terjual:

jam tangan sepasang $+$ jam tangan satuan $\le10$ jam tangan

$x+y\le10$

Tanda $\le$ menunjukkan bahwa jumlah jam tangan yang terjual paling banyak 10, sehingga pasti jumlahnya kurang dari atau sama dengan 10.

2) Uang penjualan

Total uang penjualan:

$\left(Rp500.000\right)\left(x\right)+\left(Rp315.000\right)\left(y\right)\ge Rp3.600.000,-$

$500.000x+315.000y\ge3.600.000$

Tanda $\ge$ menunjukkan bahwa jumlah uang dari hasil penjualan jam tangan minimal (sekurang-kurangnya) Rp3.600.000,- tiap bulan.

Jadi, model matematika dari kasus tersebut adalah $x\ge1;\ y\le4;\ x+y\le10;$ dan $500.000x+315.000y\ge3.600.000$

Pembahasan:

Jumlah sandal tanpa hak: $x$

Jumlah sandal ber-hak:

Menentukan keuntungan maksimum berarti kita mencari

$f\left(x,y\right)=1.500x+2.000y$

1) Jumlah semua sandal

$x\ge0$ dan $y\ge0$.

$x+y\leq 22$

2) Harga total sandal

$(Rp25.000,-)(x)+(Rp35.000,-)(y)\leq Rp600.000,-$

$25.000x+35.000y\le600.000$

Kita sederhanakan pertidaksamaan di atas, membagi kedua ruas dengan 5.000, menjadi:

$5x+7y\le120$

3) Menggambar grafik

Mencari titik potong sumbu-$x$ dan sumbu-$y$ tiap pertidaksamaan

Gambar grafiknya:

Koordinat titik B

Menentukan nilai $y$ dengan menggunakan metode eliminasi

Substitusikan $y$ ke dalam $x+y=22$

$x+5=22$

$x=22-5=17$

4) Nilai Optimum

Jadi, keuntungan maksimum yang dapat dia peroleh adalah Rp35.500,00.

Pembahasan:

Jumlah sandal perempuan: $x$

Jumlah sandal laki-laki: $y$

Menentukan keuntungan maksimum berarti mencari $f\ \left(x+y\right)=7.500x+5.000y$

1) Jumlah sandal

$150\le x\le200$ dan $50\le y\le150$

$x+y\le300$

2) Menggambar grafik

Mencari titik potong sumbu-$x$ dan sumbu-$y$ tiap kendala

$150\le x\le200$ (garis biru)

$50\le y\le150$ (garis kuning)

Gambar grafiknya:

3) Nilai Optimum

Jadi, besar keuntungan maksimal yang dapat diperoleh toko tersebut adalah Rp2.000.000,-

Pembahasan:

1) Meninjau garis merah

Garis merah pada grafik memotong sumbu- $x$ di (3, 0) dan memotong sumbu- $y$ di (0, -2). Untuk membuat persamaan garis kita dapat menggunakan $ax+by=c$, dengan $a$ adalah titik di sumbu- $y$ dan $b$ adalah titik di sumbu- $x$ , kemudian $c=ab$. Oleh karena itu, persamaan garisnya menjadi berikut.

$-2x+3y=\left(-2\right)\left(3\right)$

$-2x+3y=-6$

Kita kali dengan -1 menjadi:

$2x-3y=6$

Karena daerah yang diarsir di sebelah kanan garis dan garis penuh (tidak putus-putus), maka persamaannya menjadi:

$2x-3y\ge6$

Agar lebih yakin, kita dapat membuktikan dengan menggunakan titik selidik sebagai berikut.

1. Uji sembarang titik yang ada di dalam daerah pertidaksamaan, misalkan melalui (5, 0): $2\left(5\right)-3\left(0\right)=10\ge6$ (benar)
2. Uji sembarang titik yang ada di luar daerah pertidaksamaan, misalkan melalui (2, 0): $2\left(2\right)-3\left(0\right)=4\ge6$ (salah)

2) Meninjau garis biru

Garis biru pada grafik memotong sumbu- $x$ di (2, 0) dan memotong sumbu- $y$ di (0, 5). Untuk membuat persamaan garis kita dapat menggunakan $ax+by=c$, dengan $a$ adalah titik di sumbu- $y$ dan $b$ adalah titik di sumbu- $x$ , kemudian $c=ab$. Oleh karena itu, persamaan garisnya menjadi berikut.

$5x+2y=\left(5\right)\left(2\right)$

$5x+2y=10$

Karena daerah yang diarsir di sebelah kanan garis dan garis penuh (tidak putus-putus), maka persamaannya menjadi:

$5x+2y\ge10$

Agar lebih yakin, kita dapat membuktikan dengan menggunakan titik selidik sebagai berikut.

1. Uji sembarang titik yang ada di dalam daerah pertidaksamaan, misalkan melalui (7, 0): $5\left(7\right)+2\left(0\right)=35\ge10$ (benar)
2. Uji sembarang titik yang ada di luar daerah pertidaksamaan, misalkan melalui (1, 0): $5\left(1\right)+2\left(0\right)=5\ge10$ (salah)

3) Meninjau garis pada sumbu- $x$ dan sumbu- $y$

Daerah yang diarsir pada grafik adalah di atas sumbu- $x$ yang berarti $y\ge0$ dan di sebelah kiri garis vertikal berwarna kuning yang memotong sumbu- $x$ di titik (7, 0) yang berarti $x\le7$

Jadi, pertidaksamaan yang tepat adalah $2x-3y\ge6;\ 5x+2y\ge10;\ x\le7;\$ dan $y\ge0$

Pembahasan:

1) Mencari titik potong sumbu- $x$ dan sumbu-$y$ tiap pertidaksamaan

2) Gambar grafik dan menentukan titik-titik pojok

Koordinat di titik C

Mencari nilai $x$ menggunakan metode eliminasi

Menentukan nilai $y$ menggunakan metode substitusi

$3x+2y=6$, di mana $x=\frac{24}{7}$

$3\left(\frac{24}{7}\right)+2y=6$

$2y=6-\frac{72}{7}$

$2y=\frac{42-72}{7}=-\frac{30}{7}$

$y=-\frac{15}{7}$

Titik-titik pojoknya adalah:

$A=\left(2,\ 0\right)$

$B=\left(6,\ 0\right)$

$C=\left(\frac{24}{7},\ -\frac{15}{7}\right)$

3) Nilai Optimum

Jadi, nilai maksimum dari $F=7x-14y$ adalah 54

Pembahasan:

Untuk menentukan titik potong suatu garis, kita dapat menggunakan cara substitusi $x=0$ dan $y=0$ ke persamaan garis yang ada

Titik potong garis $2x+y\le6$ terhadap sumbu koordinat dapat dinyatakan dalam tabel berikut.

Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa:

1. garis tersebut melalui titik (0,6) dan (3,0),
2. pertidaksamaan bertanda $\le$, maka arsirannya di sebelah kiri garis,
3. garis utuh (tidak putus-putus) karena menggunakan tanda pertidaksamaan $\le$ atau $\ge$

Jadi, daerah penyelesaian yang benar adalah:

Pembahasan:

1) Titik potong garis $3x+2y\le12$ terhadap sumbu koordinat dapat dinyatakan dalam tabel berikut.

Untuk menentukan titik potong garis tersebut, kita dapat menentukan $x=0$ dan $y=0$

Dari tabel di atas kita tahu bahwa garis tersebut melalui titik (0, 6) dan (4, 0), ditunjukkan oleh garis berwarna merah, kemudian karena pertidaksamaan bertanda $\le$ maka arsirannya di sebelah kiri, yaitu daerah I, II, dan V.

2) Titik potong garis $x+2y\le4$ terhadap sumbu koordinat dapat dinyatakan dalam tabel berikut.

Dari tabel di atas kita tahu bahwa garis tersebut melalui titik (0, 2) dan (4, 0), ditunjukkan oleh garis berwarna biru, kemudian karena pertidaksamaan bertanda $\le$ maka arsirannya di sebelah kiri, yaitu daerah I, III, dan V.

3) Titik potong garis $x\ge0$, maka yang diarsir daerah sebelah kanan, dan $0\ge y\ge-4$ ditunjukkan oleh garis berwarna kuning, maka daerah yang diarsir adalah di atas garis kuning namun di bawah garis horizontal (sumbu $x$), yaitu daerah III, IV, dan V.

Oleh karena itu, daerah yang memenuhi keempat syarat tersebut adalah nomor V, seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

Agar lebih yakin, kita dapat membuktikan dengan menggunakan titik selidik sebagai berikut.

1. Uji sembarang titik yang ada di dalam daerah pertidaksamaan, misalkan melalui (0, -3): $3\left(0\right)+2\left(-3\right)=-6\le12$ (benar)
2. Uji sembarang titik yang ada di luar daerah pertidaksamaan, misalkan melalui (5, 0): $3\left(5\right)+2\left(0\right)=15\le12$ (salah)