Contoh Soal

Pembahasan:

Akan dicek pada setiap suku banyak yang ada.

Perhatikan suku banyak pertama!

$\Leftrightarrow\ x=x^1$

Perhatikan suku banyak kedua!

$\Leftrightarrow\ -7=7x^0$

Perhatikan suku banyak ketiga!

$\Leftrightarrow\sqrt{x^8}=x^{\frac{8}{2}}=x^4$

Perhatikan suku banyak keempat!

$\Leftrightarrow\left(x^3\right)^2=x^6$

Perhatikan suku banyak kelima!

$\Leftrightarrow-5x^2$

Jadi, urutan turun dari $x-7+\sqrt{x^8}+\left(x^3\right)^2-5x^2$ dalah $\left(x^3\right)^2+\sqrt{x^8}-5x^2+x-7$

Pembahasan:

Derajat merupakan pangkat tertinggi dari variabel yang terdapat pada suku banyak.

Untuk menentukannya, kita harus menjabarkan suku banyak terlebih dahulu.

$\left(x^2-3\right)^2\left(1-2x+3x^2\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(x^4-6x^2+9\right)\left(1-2x+3x^2\right)$

$\Leftrightarrow\ x^4-2x^5+3x^6-6x^2+12x^3-18x^4+9-18x+27x^2$

Kelompokkan suku yang sejenis

$\Leftrightarrow\ 3x^6-2x^5+x^4-18x^4+12x^3-6x^2+27x^2-18x+9$

$\Leftrightarrow\ 3x^6-2x^5-17x^4+12x^3+21x^2-18x+9$

Pangkat tertinggi penjabaran suku banyak adalah 6, sehingga derajat suku banyak tersebut adalah 6.

Pembahasan:

Koefisien adalah bilangan real yang terletak di sebelah variabel.

Akan dicek pada setiap suku banyak yang ada.

Perhatikan suku banyak pertama!

$\Leftrightarrow\ 2x^2$ memiliki koefisien 2

Perhatikan suku banyak kedua!

$\Leftrightarrow\ x^3$ memiliki koefisien 1

Perhatikan suku banyak ketiga!

$\Leftrightarrow\ 5\sqrt{x^2}=5x^{ }$ memiliki koefisien 5

Perhatikan suku banyak keempat!

$\Leftrightarrow\ 10x^5$ memiliki koefisien 10

Perhatikan suku banyak kelima!

$\Leftrightarrow\sqrt{16x^4}=\sqrt{\left(4\right)^2x^4}=4x^2$ memiliki koefisien 4

Perhatikan suku banyak keenam!

$\Leftrightarrow-11=-11x^0$ memiliki koefisien -11

Jadi, koefisienurutan naiknya adalah $-11,5,2,4,1,10$

Pembahasan:

Derajat merupakan pangkat tertinggi dari variabel yang terdapat pada suku banyak.

Untuk menentukannya, kita harus menjabarkan suku banyak terlebih dahulu.

$\left(x^2+2\right)^2\left(x+1\right)\left(x-7\right)^2$

$\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)\left(x^2+2\right)\left(x+1\right)\left(x-7\right)\left(x-7\right)$

$\Leftrightarrow\left(x^4+4x^2+4\right)\left(x+1\right)\left(x^2-14x+49\right)$

$\Leftrightarrow\left(x^5+x^4+4x^3+4x^2+4x+4\right)\left(x^2-14x+49\right)$

$\Leftrightarrow\ x^7-13x^6+39x^5-3x^4+144x^3+144x^2+140x+196$

Pangkat tertinggi suku banyak tersebut adalah 7, sehingga suku banyak tersebut dapat dikatakan suku banyak berderajat 7.

Pembahasan:

Diketahui:

$x^3+7x^2+5x-11$

Misalkan: $x_1=2$

Ditanya:

$x_2x_3=?$

Jawab:

Menggunakan teorema akar-akar polinomial

Jika diketahui polinomial $ax^3+bx^2+cx+d$, maka:

$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$

$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}$

$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$

Untuk menemukan nilai $x_2x_3$ kita dapat menggunakan salah satu persamaan dari teorema akar-akar polinomial di atas

$x^3+7x^2+5x-11$ , maka

$a=1$

$b=7$

$c=5$

$d=-11$ , sehingga:

$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$

$\Leftrightarrow\ x_1x_2x_3=-\frac{(-11)}{1}$

$\Leftrightarrow\ x_1x_2x_3=11$

Diketahui $x_1=2$ maka:

$\Leftrightarrow\ 2x_2x_3=11$

$\Leftrightarrow\ x_2x_3=\frac{11}{2}$

Jadi, hasil kali akar-akar lainnya adalah $\frac{11}{2}$

Pembahasan:

Diketahui:

$2x^3-3x^2-11x+6=0$ , dimana $a=2\ ,\ b=\ -3,\ c=-11\ \text{dan}\ d=6$

Ditanya:

$x_1^{ }\ ^2+x_2^{ }\ ^2+x_{3\ }^{\ \ 2}\ =?$

Jawab:

Gunakan teorema akar-akan $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$

$\Leftrightarrow x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$

Gunakan teorema akar akar $x_1\times x_2+x_1\times x_3+x_2\times x_3=\frac{c}{a}$

$\Leftrightarrow x_1\times x_2+x_1\times x_3+x_2\times x_3=\frac{c}{a}=-\frac{11}{2}$

Jabarkan $x_1^{\ \ \ 2}+x_2^{\ \ \ 2}+x_3^{\ \ \ 2}$

$\Leftrightarrow x_1^{\ \ \ 2}+x_2^{\ \ \ 2}+x_3^{\ \ \ 2}=\left(x_1+x_2+x_3\right)^2-2\left(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\right)$

$\Leftrightarrow x_1^{\ \ \ 2}+x_2^{\ \ \ 2}+x_3^{\ \ \ 2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2-2\left(-\frac{11}{2}\right)$

$\Leftrightarrow x_1^{\ \ \ 2}+x_2^{\ \ \ 2}+x_3^{\ \ \ 2}=\frac{9}{4}+11=2\ \frac{1}{4}+11=13\ \frac{1}{4}$

Jadi, nilai $$ $x_1^{\ \ \ 2}+x_2^{\ \ \ 2}+x_3^{\ \ \ 2}=13\ \frac{1}{4}$

Pembahasan:

Pembagi adalah $\left(x+2\right)$, dimana $x=-2$ diletakkan pada bagian paling kiri bagan horner.

Langkah 1: Koefisien dari persamaan polinom dibuat secara horizontal dan pembagi pada bagian paling kiri bagan horner

Langkah 2: Koefisien angka 1 ditambah dengan 0 akan menghasilkan angka 1 pada baris ketiga

Langkah 3: Hasil angka 1 dikalikan dengan -2 menghasilkan angka -2 dan diletakkan di bawah angka 2. Setelah 2 ditambah -2, 0 adalah hasilnya.

Langkah 4: Angka 0 dikalikan dengan -2 menghasilkan 0 dan diletakkan di bawah angka -1. Setelah -1 ditambah 0, -1 adalah hasilnya.

Langkah 5: Angka -1 dikalikan dengan -2 menghasilkan 2 dan diletakkan di bawah angka 0. Setelah 0 ditambah 2, 2 adalah hasilnya.

Langkah 6: Angka 2 dikalikan dengan -2 menghasilkan -4 dan diletakkan di bawah angka 7. Setelah 7 ditambah -4, 3 adalah hasilnya.

Langkah 7: Angka 3 dikalikan dengan -2 menghasilkan -6 dan diletakkan di bawah angka -12. Setelah -12 ditambah -6, -18 adalah angka terakhir pada bagan horner. Jadi -18 adalah sisanya.

Berdasarkan bagan tersebut, diperoleh sisa -18

Pembahasan:

Koefisien adalah bilangan real yang terletak di sebelah variabel.

$\Leftrightarrow\ \left(x^3-2\right)\left(-x^3+4\right)\left(x+1\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(-x^6+4x^3+2x^3-8\right)\left(x+1\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(-x^6+6x^3-8\right)\left(x+1\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(-x^7-x^6+6x^4+6x^3-8x-8\right)$

Jadi, jumlah setiap koefisiennya adalah $-1-1+6+6-8-8\ =\ -6$

Pembahasan:

$4^{x^3-7x^2+2x-11}-2^{x^2+x-6}=0$

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat melakukan manipulasi terhadap persamaan di atas menggunakan sifat-sifat aljabar dan bilangan berpangkat.

$\Leftrightarrow\ 4^{x^3-7x^2+2x-11}=2^{x^2+x-6}$

Sifat bilangan berpangkat: $\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}$, sehingga

$\Leftrightarrow\ 2^{2\left(x^3-7x^2+2x-11\right)}=2^{x^2+x-6}$

$\Leftrightarrow\ 2^{2x^3-14x^2+4x-22}=2^{x^2+x-6}$

Sifat bilangan berpangkat: $a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}\ \Leftrightarrow\ f\left(x\right)=g\left(x\right)$, sehingga

$\Leftrightarrow\ 2x^3-14x^2+4x-22=x^2+x-6$

Selanjutnya, manipulasi persamaan dapat dilanjutkan menggunakan sifat-sifat aljabar

$\Leftrightarrow\ 2x^3-14x^2+4x-22-x^2-x+6=0$

Kelompokkan suku yang sejenis

$\Leftrightarrow\ 2x^3-14x^2-x^2+4x-x-22+6=0$

$\Leftrightarrow 2x^3-15x^2+3x-16=0$

Terlihat bahwa hasil manipulasi persamaan berbentuk suku banyak berderajat 3, sehingga ada 3 nilai $x$ yang memenuhi. Misalkan nilai $x$ yang memenuhi adalah $x_1,\ x_2,$ dan $x_3.$

Menggunakan teorema akar-akar polinomial:

Jika diketahui suku banyak $ax^3+bx^2+cx+d$, maka:

$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$

$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a}$

$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$

Persamaan:

$2x^3-15x^2+3x-16=0$

$a=2; b=-15; c=3; d=-16$

Hasil kali $x$ yang memenuhi

$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$

$\Leftrightarrow x_1x_2x_3=-\frac{\left(-16\right)}{2}$

$\Leftrightarrow x_1x_2x_3=\frac{16}{2}$

$\Leftrightarrow x_1x_2x_3=8$

Jadi, hasil kali $x$ yang memenuhi adalah 8.

Pembahasan:

Diketahui:

$x^4-6x^3+mx^2+nx-8$

Dua akar pertama saling berlawanan: $x_1=-x_2\Leftrightarrow\ x_1+x_2=0$

Akar ketiga adalah dua kali akar keempat: $x_3=2x_4$

Ditanya:

$m=?$

$n=?$

Jawab:

Teorema akar-akar suku banyak.

Jika diketahui suatu suku banyak $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$, maka

$x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a}$

$x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=\frac{c}{a}$

$x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\frac{d}{a}$

$x_1x_2x_3x_4=\frac{e}{a}$

Diketahui suku banyak $x^4-6x^3+mx^2+nx-8$, maka

$a=1$

$b=-6$

$c=m$

$d=n$

$e=-8$

Diketahui $x_1+x_2=0$ dan $x_3=2x_4$, maka

$x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a}$

$\Leftrightarrow\ 0+2x_4+x_4=-\frac{\left(-6\right)}{1}$

$\Leftrightarrow\ 3x_4=6$

$\Leftrightarrow\ x_4=\frac{6}{3}$

$\Leftrightarrow\ x_4=2$

Sehingga diperoleh

$x_3=2x_4\ \Leftrightarrow\ x_3=4$

Kita dapat menentukan nilai $m$ dan $n$ dengan menggunakan akar-akar yang sudah diketahui.

Jika $f\left(x\right)=x^4-6x^3+mx^2+nx-8$ adalah suatu suku banyak dan $x_3=4$ adalah akar dari $f\left(x\right)$, maka $f\left(4\right)=0$ sehingga

$f\left(4\right)=0$

$\Leftrightarrow\ \left(4\right)^4-6\left(4\right)^3+m\left(4\right)^2+n\left(4\right)-8=0$

$\Leftrightarrow\ 256-6\left(64\right)+m\left(16\right)+4n-8=0$

$\Leftrightarrow\ 256-384+16m+4n-8=0$

$\Leftrightarrow\ -136+16m+4n=0$

$\Leftrightarrow\ 16m+4n=136$

$\Leftrightarrow\ 4m+n=34$ ...(1)

Jika $x_4=2$ adalah akar dari $f\left(x\right)$, maka $f\left(2\right)=0$ sehingga

$f\left(2\right)=0$

$\Leftrightarrow\ \left(2\right)^4-6\left(2\right)^3+m\left(2\right)^2+n\left(2\right)-8=0$

$\Leftrightarrow\ 16-6\left(8\right)+m\left(4\right)+2n-8=0$

$\Leftrightarrow\ 16-48+4m+2n-8=0$

$\Leftrightarrow\ -40+4m+2n=0$

$\Leftrightarrow\ 4m+2n=40$

$\Leftrightarrow\ 2m+n=20$ ...(2)

Eliminasikan persamaan (1) dan (2)

Substitusikan $m=7$ ke salah satu persamaan

$2m+n=20$

$\Leftrightarrow\ 2\left(7\right)+n=20$

$\Leftrightarrow\ 14+n=20$

$\Leftrightarrow\ n=20-14$

$\Leftrightarrow\ n=6$

Jadi, nilai $m$ dan $n$ berturut-turut adalah 7 dan 6.