Contoh Soal

Pembahasan:

Diketahui:

Deret geometri $9+3+1+\frac{1}{3}+\dots$

Ditanya:

Rumus jumlah $n$ suku pertama deret tersebut?

Jawab:

Deret geometri tersebut memiliki:

$a=9$

$r=\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{U_2}{U_1}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

Rumus jumlah $n$ suku pertama deret geometri tersebut adalah

$S_n=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$

$S_n=\frac{9\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{3}}$

$S_n=\frac{9\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{\frac{3-1}{3}}$

$S_n=\frac{9\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{\frac{2}{3}}$

$S_n=9\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)\frac{3}{2}$

$S_n=\frac{27}{2}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)$

Pembahasan:

Diketahui:

Barisan aritmetika mempunyai:

$U_6=18$

$U_{15}=45$

Ditanya:

Jumlahan suku kedua dan suku kesepuluh barisan tersebut?

Jawab:

Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $U_n=a+\left(n-1\right)b$. Artinya

$U_6=a+\left(6-1\right)b=a+5b=18$

$U_{15}=a+\left(15-1\right)b=a+14b=45$

Diperoleh

$U_{15}-U_6=45-18$

$\left(a+14b\right)-\left(a+5b\right)=27$

$9b=27$

$b=3$

sehingga

$U_6=18$

$a+5.3=18$

$a+15=18$

$a=18-15$

$a=3$ .

Diperoleh

$U_{2}=3+\left(2-1\right)3=3+1.3=3+3=6$

$U_{10}=3+\left(10-1\right)3=3+9.3=3+27=30$

sehingga

$U_2+U_{10}=6+30=36$

Pembahasan:

Diketahui:

Suatu barisan geometri dengan $U_2=18$ dan $U_5=486$

Ditanya:

Suku ke-3 barisan tersebut?

Jawab:

Rumus suku ke-$n$ barisan geometri adalah $U_n=a.r^{n-1}$.

Diperoleh

$U_2=18$

$\Leftrightarrow a.r^{2-1}=18$

$\Leftrightarrow a.r=18$

dan diperoleh pula

$U_5=486$

$\Leftrightarrow a.r^{5-1}=486$

$\Leftrightarrow a.r^{4}=486$

$\Leftrightarrow a.r.r^{3}=486$

$\Leftrightarrow 18.r^{3}=486$

$\Leftrightarrow r^{3}=\frac{486}{18}$

$\Leftrightarrow r^{3}=27$

$\Leftrightarrow r=\sqrt[3]{27}$

$\Leftrightarrow r=3$

sehingga kita dapatkan

$a.r=18$

$\Leftrightarrow a.3=18$

$\Leftrightarrow a=\frac{18}{3}$

$\Leftrightarrow a=6$

Suku ke-3 barisan tersebut adalah

$U_3=a.r^{3-1}$

$\Leftrightarrow U_3=6.3^{2}$

$\Leftrightarrow U_3=6.9$

$\Leftrightarrow U_3=54$

Jadi, suku ke-3 barisan tersebut adalah 54.

Pembahasan:

Diketahui:

Deret geometri mempunyai:

$S_3=-6$

$r=-2$

Ditanya:

Suku ketiga deret tersebut?

Jawab:

Jumlah 3 suku pertama deret geometri dengan $r<1$ adalah

$S_n=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$

$S_3=\frac{a\left(1-\left(-2\right)^3\right)}{1-\left(-2\right)}$

$-6=\frac{a\left(1-\left(-8\right)\right)}{1+2}$

$-6=\frac{a\left(1+8\right)}{3}$

$-6=\frac{9a}{3}$

$\left(-6\right).3=9a$

$-18=9a$

$\frac{-18}{9}=a$

$-2=a$

Suku ketiga deret geometri adalah

$U_n=ar^{n-1}$

$U_3=ar^{3-1}$

$U_3=ar^2$

$U_3=\left(-2\right)\left(-2\right)^2$

$U_3=\left(-2\right)4$

$U_3=-8$

Pembahasan:

Diketahui:

Deret aritmetika mempunyai:

$S_5=15$

$U_6=-6$

Ditanya:

Jumlah 11 suku pertama deret tersebut?

Jawab:

Rumus suku ke-$n$ suatu barisan aritmetika adalah

$U_n=a+\left(n-1\right)b$

$U_6=a+\left(6-1\right)b=a+5b=-6$

diperoleh

$a=-6-5b$

Rumus jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika adalah

$S_n=\frac{n}{2}\left(2a+\left(n-1\right)b\right)$

$S_5=\frac{5}{2}\left(2a+\left(5-1\right)b\right)$

$S_5=\frac{5}{2}\left(2a+4b\right)$

$S_5=5\left(a+2b\right)$

diperoleh

$5\left(a+2b\right)=15$

$5a+10b=15$

$5(-6-5b)+10b=15$

$-30-25b+10b=15$

$-30-15b=15$

$-45=15b$

$\frac{-45}{15}=b$

$-3=b$

sehingga didapat

$a=-6-5b$

$a=-6-5(-3)$

$a=-6+15$

$a=9$

Jumlah 11 suku pertama deret aritmetika adalah

$S_n=\frac{n}{2}\left(2a+\left(n-1\right)b\right)$

$S_{11}=\frac{11}{2}\left(2.9+\left(11-1\right)(-3)\right)$

$S_{11}=\frac{11}{2}\left(18+10(-3)\right)$

$S_{11}=\frac{11}{2}\left(18-30\right)$

$S_{11}=\frac{11}{2}\left(-12\right)$

$S_{11}=11\left(-6\right)$

$S_{11}=-66$

Jadi, jumlah 11 suku pertama deret tersebut adalah -66.

Pembahasan:

Diketahui:

Deret aritmetika mempunyai:

$S_6=177$

$U_7=40$

Ditanya:

Jumlah 15 suku pertama deret tersebut?

Jawab:

Rumus suku ke-$n$ suatu barisan aritmetika adalah

$U_n=a+\left(n-1\right)b$

$U_7=a+\left(7-1\right)b=a+6b=40$

diperoleh

$a=40-6b$

Rumus jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika adalah

$S_n=\frac{n}{2}\left(2a+\left(n-1\right)b\right)$

$S_6=\frac{6}{2}\left(2a+\left(6-1\right)b\right)$

$S_6=3\left(2a+5b\right)$

$S_6=6a+15b$

diperoleh

$6a+15b=177$

$6\left(40-6b\right)+15b=177$

$240-36b+15b=177$

$240-21b=177$

$240-177=21b$

$63=21b$

$\frac{63}{21}=b$

$3=b$

sehingga didapat

$a=40-6b$

$a=40-6.3$

$a=40-18$

$a=22$

Jumlah 15 suku pertama deret aritmetika adalah

$S_n=\frac{n}{2}\left(2a+\left(n-1\right)b\right)$

$S_{15}=\frac{15}{2}\left(2.22+\left(15-1\right)3\right)$

$S_{15}=\frac{15}{2}\left(44+42\right)$

$S_{15}=\frac{15}{2}\left(86\right)$

$S_{15}=15\left(43\right)$

$S_{15}=645$

Pembahasan:

Diketahui:

Deret aritmetika mempunyai rumus jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_n=3n^2$.

Ditanya:

Suku ketiga deret tersebut?

Jawab:

Jumlah 3 suku pertama deret tersebut adalah

$S_3=3.3^2=3.9=27$

Jumlah 2 suku pertama deret tersebut adalah

$S_2=3.2^2=3.4=12$

Secara umum jumlah $n$ suku pertama adalah

$S_n=U_1+U_2+U_3+\dots+U_n$

Diperoleh

$S_3=U_1+U_2+U_3$

$S_2=U_1+U_2$

sehingga suku ketiga deret tersebut adalah

$U_3=U_1-U_1+U_2-U_2+U_3$

$U_3=U_1+U_2+U_3-U_1-U_2$

$U_3=\left(U_1+U_2+U_3\right)-\left(U_1+U_2\right)$

$U_3=S_3-S_2$

$U_3=27-12$

$U_3=15$

Pembahasan:

Barisan geometri 256, 128, 64, ..., mempunyai:

$a=U_1=256$

$r=\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{U_2}{U_1}=\frac{128}{256}=\frac{1}{2}$.

Rumus suku ke-$n$ barisan geometri adalah

$U_n=a.r^{n-1}$.

Suku ke-6 barisan tersebut adalah

$U_6=a.r^{6-1}=256.(\frac{1}{2})^{5}=\frac{256}{32}=8$.

Pembahasan:

Diketahui:

Barisan geometri mempunyai:

$r=\frac{1}{4}$

$U_2=2$

Ditanya:

Jumlah tak hingga barisan geometri tersebut?

Jawab:

Rumus umum suku ke-$n$ barisan geometri adalah

$U_n=ar^{n-1}$

sehingga

$U_2=2$

$ar^{2-1}=2$

$ar=2$

$\frac{1}{4}a=2$

$a=2.4$

$a=8$

Jumlah tak hingga deret geometri adalah

$S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$

$S_{\infty}=\frac{8}{1-\frac{1}{4}}$

$S_{\infty}=\frac{8}{\frac{4}{4}-\frac{1}{4}}$

$S_{\infty}=\frac{8}{\frac{4-1}{4}}$

$S_{\infty}=\frac{8}{\left(\frac{3}{4}\right)}$

$S_{\infty}=8.\frac{4}{3}$

$S_{\infty}=\frac{32}{3}$

Pembahasan:

Barisan geometri $\frac{1}{4},\ \frac{1}{12},\ \frac{1}{36},\ \dots$  mempunyai:

$a=U_1=\frac{1}{4}$

$r=\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{U_2}{U_1}=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{4}}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.

Rumus suku ke-$n$ barisan geometri adalah

$U_n=a.r^{n-1}$.

Suku ke-5 barisan tersebut adalah

$U_5=a.r^{5-1}=\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{3}\right)^4=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3^4}\right)=\frac{1}{4}.\frac{1}{81}=\frac{1}{324}$