Contoh Soal

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{x^2-5x-6}{x^2+x+1}<0$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{x^2-5x-6}{x^2+x+1}<0$ ... (1)

dengan $f\left(x\right)=x^2-5x-6$ dan $g\left(x\right)=x^2+x+1$.

Kita dapat mencari pembuat nol di kedua fungsi tersebut.

$f\left(x\right)=0$

⇔ $x^2-5x-6=0$

⇔ $\left(x-6\right)\left(x+1\right)=0$

$x-6=0$ ⇔ $x=6$ atau

$x+1=0$ ⇔ $x=-1$

$g\left(x\right)=0$

$x^2+x+1=0$

Persamaan ini tidak bisa difaktorkan menggunakan cara biasa. Kita cek terlebih dahulu diskriminannya dengan $D=b^2-4ac$ dengan $a=1,\ b=1,\ c=1$.

$D=1^2-4\cdot1\cdot1=-3<0$

Karena diskriminannya negatif, tidak ada nilai pembuat nol atau akar riil yang memenuhi di fungsi $g\left(x\right)$.

Totalnya, ada dua nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Selanjutnya, garis bilangan di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari kedua titik pembuat nol tersebut. Nilainya dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

Garis bilangannya ditunjukkan sebagai berikut. Karena tanda pertidaksamaan adalah $<$, kita cari hasil yang negatif.

Pembuktian:

Untuk rentang $-1<x<6$, ambil $x=0$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

⇔ $\frac{0^2-5\cdot0-6}{0^2+0+1}<0$

⇔ $-\frac{6}{1}<0$

⇔ $-6<0$ ... (2)

Ruas kiri bernilai negatif. Dengan demikian, rentang tersebut benar menghasilkan nilai negatif. Selain itu, pernyataan (2) benar sehingga solusi ini memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, solusi dari pertidaksamaan ini adalah $-1<x<6$.

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{x^2-5x+12}{x^2-4x+5}>3$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{x^2-5x+12}{x^2-4x+5}>3$ ... (1)

sehingga dapat kita lakukan langkah-langkah seperti di atas.

⇔ $\frac{x^2-5x+12}{x^2-4x+5}-3>0$

⇔ $\frac{x^2-5x+12-3\left(x^2-4x+5\right)}{x^2-4x+5}>0$

⇔ $\frac{x^2-5x+12-3x^2+12x-15}{x^2-4x+5}>0$

⇔ $\frac{-2x^2+7x-3}{x^2-4x+5}>0$

Kalikan kedua ruas dengan $-1$:

⇔ $\frac{2x^2-7x+3}{x^2-4x+5}<0$ ... (2)

Dari sini, diketahui $f\left(x\right)=2x^2-7x+3$ dan $g\left(x\right)=x^2-4x+5$. Selanjutnya, kita cari pembuat nolnya.

$f\left(x\right)=0$

⇔ $2x^2-7x+3=0$

⇔ $\left(2x-1\right)\left(x-3\right)=0$

$2x-1=0$ ⇔ $x=\frac{1}{2}$ atau

$x-3=0$ ⇔ $x=3$

$g\left(x\right)=0$

⇔ $x^2-4x+5=0$

Persamaan ini tidak bisa difaktorkan menggunakan cara biasa. Kita cek terlebih dahulu diskriminannya dengan $D=b^2-4ac$ dengan $a=1,\ b=-4,\ c=5$.

$D=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot5=16-20=-4<0$

Karena diskriminannya negatif, tidak ada nilai pembuat nol atau akar riil yang memenuhi.

Totalnya, ada dua nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Selanjutnya, tabel di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari kedua titik pembuat nol tersebut.

Tanda di pertidaksamaan (2) adalah $<$ , sehingga kita ambil tanda yang negatif. Solusinya adalah $\frac{1}{2}<x<3$.

Pembuktian:

Untuk rentang $\frac{1}{2}<x<3$, kita ambil $x=1$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

⇔ $\frac{\left(2\cdot1-1\right)\left(1-3\right)}{1^2-4\cdot1+5}<0$

⇔ $\frac{\left(1\right)\left(-2\right)}{1-4+5}<0$

⇔ $\frac{-2}{2}<0$

⇔ $-1<0$ ... (3)

Tanda di ruas kiri negatif. Dengan demikian, rentang tersebut memang menghasilkan nilai negatif. Selain itu, pernyataan (3) benar sehingga solusi tersebut memenuhi pertidaksamaan.

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{7}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}+\frac{9}{x-3}<-1$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{7}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}+\frac{9}{x-3}<-1$ ... (1)

sehingga dapat kita lakukan langkah-langkah seperti di atas.

⇔ $\frac{7}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}+\frac{9}{x-3}+1<0$

Samakan penyebut:

⇔ $\frac{7+9\left(x-2\right)+\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}<0$

⇔ $\frac{7+9x-18+x^2-5x+6}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}<0$

⇔ $\frac{x^2+4x-5}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}<0$ ... (2)

Dari sini, diketahui $f\left(x\right)=x^2+4x-5$ dan $g\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right)$.

Selanjutnya, kita cari pembuat nol untuk masing-masing fungsi.

$f\left(x\right)=0$

⇔ $x^2+4x-5=0$

⇔ $\left(x+5\right)\left(x-1\right)=0$

$x+5=0$ ⇔ $x=-5$ atau

$x-1=0$ ⇔ $x=1$

$g\left(x\right)=0$

⇔ $\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$

$x-2=0$ ⇔ $x=2$ atau

$x-3=0$ ⇔ $x=3$

Totalnya, ada empat nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Selanjutnya, tabel di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari keempat titik pembuat nol tersebut.

Garis bilangannya ditunjukkan sebagai berikut. Karena tanda pertidaksamaan adalah $<$ , kita cari hasil yang negatif.

Pembuktian:

Untuk rentang $-5<x<1$, kita ambil $x=0$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

⇔ $\frac{0^2+4\cdot0-5}{\left(0-2\right)\left(0-3\right)}<0$

⇔ $\frac{-5}{6}<0$ ... (3)

Ruas kanan negatif. Dengan demikian, interval tersebut menghasilkan nilai negatif. Selain itu, pernyataan (3) benar sehingga solusi tersebut memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, solusinya adalah $-5<x<1$ atau $2<x<3$.

Pembahasan:

Secara umum, diberikan kurva $y=a_1x^2+b_1x+c_1$ dan garis $y=b_2x+c_2$. Jika persamaan garis disubstitusi ke persamaan kurva menjadi

$a_1x^2+b_1x+c_1=b_2x+c_2$

$\Leftrightarrow a_1x^2+b_1x+c_1-b_2x-c_2=0$

$\Leftrightarrow a_1x^2+b_1x-b_2x+c_1-c_2=0$

$\Leftrightarrow a_1x^2+\left(b_1-b_2\right)x+\left(c_1-c_2\right)=0$

$\Leftrightarrow ax^2+bx+c=0$ . . . (*),

dengan $a=a_1,\ b=b_1-b_2,\ c=c_1-c_2$,

dan diskriminan persamaan (*) adalah $D=b^2-4ac$, maka kedudukan kurva dan garis sebagai berikut:

1. Memotong sumbu $X$ di dua titik jika diskriminannya lebih dari nol ($D>0$).
2. Menyinggung sumbu $X$ (memotong sumbu $X$ di satu titik) jika diskriminannya sama dengan nol ($D=0$).
3. Tidak memotong sumbu $X$ jika diskriminannya kurang dari nol ($D<0$).

Perlu diingat sifat distributif juga operasi aljabar sebagai berikut:

Untuk sembarang bilangan $a,\ b,$ dan variabel $x$ berlaku $\left(a+b\right)x=ax+bx$

Pada soal diketahui garis $y=-2x+3$ memotong kurva $y=x^2-4x+p$, sehingga didapat

$x^2-4x+p=-2x+3$

$\Leftrightarrow x^2-4x+p+2x-3=0$

$\Leftrightarrow x^2-4x+2x+p-3=0$, berdasarkan sifat distributif diperoleh

$\Leftrightarrow x^2+(-4+2)x+(p-3)=0$

$\Leftrightarrow x^2+(-2)x+(p-3)=0$

Artinya, $a=1,\ b=-2,\ c=p-3$

Karena garis memotong kurva, maka $D>0$. Diperoleh

$D>0$

$\Leftrightarrow b^2-4ac>0$

$\Leftrightarrow(-2)^2-4.1.\left(p-3\right)>0$

$\Leftrightarrow 4-4\left(p-3\right)>0$, berdasarkan sifat distributif diperoleh

$\Leftrightarrow 4-4p+12>0$

$\Leftrightarrow -4p+12+4>0$

$\Leftrightarrow -4p+16>0$

$\Leftrightarrow 16>4p$

$\Leftrightarrow \frac{16}{4}>p$

$\Leftrightarrow4>p$ dapat juga ditulis menjadi $p<4$

Pembahasan:

Diketahui:

Polinomial rasional $\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}$

Ditanya:

Semua nilai $x$ agar polinomial yang diberikan bernilai negatif?

Jawab:

Perintah pada soal adalah mencari semua nilai $x$ agar $\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}$ selalu negatif. Dengan kata lain mencari semua nilai $x$ yang memenuhi

$\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}<0$ . . . (*)

Pertidaksamaan (*) merupakan pertidaksamaan rasional polinom. Perlu diingat pertidaksamaan rasional polinom memiliki bentuk umum sebagai berikut:

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le n,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge n,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<n,$ dan $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>n$

dengan $f\left(x\right)$ dan atau $g\left(x\right)$ berbentuk polinom berderajat dua atau lebih.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional polinom adalah dengan

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian mencari nilai nol untuk pembilang maupun penyebut. Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Selain itu perlu diingat beberapa sifat berikut

sifat distributif: untuk sembarang bilangan $a,\ b,$ dan $c$ berlaku $\left(a+b\right).c=a.c+b.c$

sifat perkalian dan pembagian: untuk sembarang bilangan positif dan negatif, berlaku

positif $\times$ positif = positif

positif $\times$ negatif = negatif

negatif $\times$ positif = negatif

negatif $\times$ negatif = positif

Hal tersebut juga berlaku jika operasi $\times$ diganti dengan operasi pembagian.

Akan dicari harga nol dari pertidaksamaan (*). Diperoleh

$\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=0$

Untuk pembilang diperoleh

$x^3-4x^2+3x=0$, berdasarkan sifat distributif didapat

$\Leftrightarrow x\left(x^2-4x+3\right)=0$

untuk $x^2-4x+3=0$ nilai $p,\ q$ sehingga $p+q=-4$ dan $pq=3$ adalah $p=-1$ dan $q=-3$. Didapat

$x^2-4x+3=0$

$\Leftrightarrow\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0$

Sehingga untuk pembilang diperoleh

$x\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0$

Artinya

$x=0$ atau

$x-1=0\Leftrightarrow x=1$ atau

$x-3=0\Leftrightarrow x=3$

Untuk penyebut diperoleh

$x+2=0\Leftrightarrow x=-2$

Berdasarkan harga nol pertidaksamaan (*) diperoleh beberapa nilai pembuat nol dengan urutan berikut

$-2<0<1<3$

dan pertidaksamaan (*) dapat dinyatakan dengan

$\frac{x\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x+2}<0$

Tanda pertidaksamaan (*) adalah $<$ artinya penyelesaiannya adalah semua nilai $x$ yang menyebabkan ruas kiri pertidaksamaan (*) bernilai negatif dan semua pembuat nolnya bukan merupakan penyelesaian (sebab tidak memuat sama dengan). Diperhatikan beberapa kemungkinan berikut

Kemungkinan pertama, untuk $x<-2$, maka $x-1$ selalu negatif, $x-3$ selalu negatif, dan $x+2$ selalu negatif. Didapat

$\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\frac{x\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x+2}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\frac{\left(\text{negatif}\right)\left(\text{negatif}\right)\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\frac{\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\left(\text{positif}\right)$

Kemungkinan kedua, untuk $-2<x<0$, maka $x-1$ selalu negatif, $x-3$ selalu negatif, dan $x+2$ selalu positif. Didapat

$\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\frac{x\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x+2}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\frac{\left(\text{negatif}\right)\left(\text{negatif}\right)\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\frac{\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\left(\text{negatif}\right)$

Kemungkinan ketiga, untuk $0<x<1$, maka $x-1$ selalu negatif, $x-3$ selalu negatif, dan $x+2$ selalu positif. Didapat

$\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\frac{x\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x+2}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\frac{\left(\text{positif}\right)\left(\text{negatif}\right)\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\frac{\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\left(\text{positif}\right)$

Kemungkinan keempat, untuk $1<x<3$, maka $x-1$ selalu positif, $x-3$ selalu negatif, dan $x+2$ selalu positif. Didapat

$\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\frac{x\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x+2}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\frac{\left(\text{positif}\right)\left(\text{positif}\right)\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\frac{\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\left(\text{negatif}\right)$

Kemungkinan kelima, untuk $x>3$, maka $x-1$ selalu positif, $x-3$ selalu positif, dan $x+2$ selalu positif. Didapat

$\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\frac{x\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x+2}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\frac{\left(\text{positif}\right)\left(\text{positif}\right)\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\frac{\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=\left(\text{positif}\right)$

Diperoleh ruas kiri pertidaksamaan (*) bernilai negatif ketika$-2< x<0$ atau $1< x<3$

Jadi semua nilai $x$ agar $\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}$ selalu negatif adalah

$-2< x<0$ atau $1< x<3$

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{x^3-2x^2+2x-10}{x-5}\le2$

Ditanya:

Himpunan semua solusi dari pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Untuk mencari penyelesaian pertidaksamaan, langkah pertamanya yaitu memastikan ruas kanan pertidaksamaan tersebut adalah nol. Ruas kanan pertidaksamaan yang diberikan pada soal bukan nol, maka diubah menjadi

$\frac{x^3-2x^2+2x-10}{x-5}\le2$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2+2x-10}{x-5}-2\le0$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2+2x-10}{x-5}-\frac{2\left(x-5\right)}{x-5}\le0$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2+2x-10}{x-5}-\frac{2x-10}{x-5}\le0$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2+2x-10-\left(2x-10\right)}{x-5}\le0$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2+2x-10-2x+10}{x-5}\le0$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2+2x-2x-10+10}{x-5}\le0$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}\le0$ . . . (*)

Pertidaksamaan (*) merupakan pertidaksamaan rasional polinom. Perlu diingat pertidaksamaan rasional polinom memiliki bentuk umum sebagai berikut:

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le n,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge n,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<n,$ dan $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>n$

dengan $f\left(x\right)$ dan atau $g\left(x\right)$ berbentuk polinom berderajat dua atau lebih.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional polinom adalah dengan

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian mencari nilai nol untuk pembilang maupun penyebut. Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Selain itu perlu diingat beberapa sifat berikut

sifat distributif: untuk sembarang bilangan $a,\ b,$ dan $c$ berlaku $\left(a+b\right).c=a.c+b.c$

sifat perkalian dan pembagian: untuk sembarang bilangan positif dan negatif, berlaku

positif $\times$ positif = positif

positif $\times$ negatif = negatif

negatif $\times$ positif = negatif

negatif $\times$ negatif = positif

Hal tersebut juga berlaku jika operasi $\times$ diganti dengan operasi pembagian.

Akan dicari harga nol dari pertidaksamaan (*). Diperoleh

$\frac{x^3-2x^2}{x-5}=0$

Untuk pembilang diperoleh

$x^3-2x^2=0$ berdasarkan sifat distributif didapat

$\Leftrightarrow x^2\left(x-2\right)=0$

Artinya

$x^2=0\Leftrightarrow x=0$ atau

$x-2=0\Leftrightarrow x=2$

Untuk penyebut diperoleh

$x-5=0\Leftrightarrow x=5$

Karena nilai $x=5$ diperoleh dari penyebut dan penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka $x=5$ tidak memenuhi pertidaksamaan (*).

Berdasarkan harga nol pertidaksamaan (*) diperoleh beberapa nilai pembuat nol dengan urutan berikut

$0<2<5$

dan pertidaksamaan (*) dapat dinyatakan dengan

$\frac{x^2\left(x-2\right)}{x-5}\le0$

Tanda pertidaksamaan (*) adalah $\le$ artinya penyelesaiannya adalah semua nilai $x$ yang menyebabkan ruas kiri pertidaksamaan (*) bernilai negarif dan $x=0,\ x=2$ merupakan penyelesaian (sebab memuat sama dengan). Diperhatikan beberapa kemungkinan berikut

Kemungkinan pertama, untuk $x\le0$, maka $x-2$ selalu negatif dan $x-5$ selalu negatif. Didapat

$\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{x^2\left(x-2\right)}{x-5}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)^2\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\left(\text{positif}\right)$

Kemungkinan kedua, untuk $0\le x\le2$, maka $x-2$ selalu negatif dan $x-5$ selalu negatif. Didapat

$\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{x^2\left(x-2\right)}{x-5}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)^2\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\left(\text{positif}\right)$

Kemungkinan ketiga, untuk $2\le x<5$ , maka $x-2$ selalu positif dan $x-5$ selalu negatif. Didapat

$\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{x^2\left(x-2\right)}{x-5}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)^2\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\left(\text{negatif}\right)$

Kemungkinan keempat, untuk $x>5$, maka $x-2$ selalu positif dan $x-5$ selalu positif. Didapat

$\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{x^2\left(x-2\right)}{x-5}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)^2\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\left(\text{positif}\right)$

Diperoleh ruas kiri pertidaksamaan (*) bernilai negatif ketika $2\le x<5$. Jadi semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah

{ $x\in$ R $\mid2\le x<5$ }

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan $\left(x+9\right)\left(x-4\right)\ge\left(x-4\right)$

Ditanya:

Nilai $x$ yang tidak memenuhi?

Jawab:

Pada soal diketahui pertidaksamaan $\left(x+9\right)\left(x-4\right)\ge\left(x-4\right)$ . . . (*)

Pertidaksamaan (*) dapat diubah menjadi

$\left(x+9\right)\left(x-4\right)\ge\left(x-4\right)$

$\Leftrightarrow\left(x^2+5x-36\right)\ge\left(x-4\right)$

$\Leftrightarrow\left(x^2+5x-36\right)-\left(x-4\right)\ge0$

$\Leftrightarrow x^2+5x-36-x+4\ge0$

$\Leftrightarrow x^2+5x-x-36+4\ge0$

$\Leftrightarrow x^2+4x-32\ge0$ . . . (1)

Pertidaksamaan (1) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian memfaktorkan ruas kiri.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Harga nol dari pertidaksamaan (1) adalah

$x^2+4x-32=0$ . . . (2)

Nilai $p,\ q$ sehingga $p+q=4$ dan $pq=-32$ adalah $p=8$ dan $q=-4$

Akibatnya persamaan (2) dapat difaktorkan menjadi

$\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x+8\right)\left(x-4\right)=0$ . . . (3)

Artinya,

$x+8=0\Leftrightarrow x=-8$ atau

$x-4=0\Leftrightarrow x=4$

Untuk $x<-8$, diambil sebagai sampel $x=-9$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (3) diperoleh

$\left(-9+8\right)\left(-9-4\right)=\left(-1\right)\left(-13\right)=13>0$ (bernilai positif).

Untuk $-8<x<4$, diambil sebagai sampel $x=0$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (3) diperoleh

$\left(0+8\right)\left(0-4\right)=8.\left(-4\right)=-32<0$  (bernilai negatif).

Untuk $x>4$, diambil sebagai sampel $x=5$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (3) diperoleh

$\left(5+8\right)\left(5-4\right)=13.1=13>0$ (bernilai positif).

Pengecekan ketiga kemungkinan tersebut dapat disajikan dalam garis bilangan berikut:

Pertidaksamaan (1) memiliki tanda $\ge$. Artinya nilai $x$ yang sesuai adalah yang menghasilkan nilai positif.

Karena pertidaksamaan (1) memuat sama dengan, maka $x=-8$ dan $x=4$ memenuhi pertidaksamaan (1). Jadi nilai $x$ yang memenuhi adalah $x\le-8$ atau $x\ge4$

Diperhatikan bahwa $x=-4$ berada pada $-8\le-4\le4$

Artinya $x=-4$ tidak memenuhi pertidaksamaan (*).