Contoh Soal

Pembahasan:

Akan dicek pada setiap jawaban yang ada.

Basis disamakan pada setiap bilangan yang ada.

Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen seperti $a^{-p}=\frac{1}{a^p}$ dan $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$

Perhatikan bilangan pertama!

$\sqrt{8}=\sqrt{\left(2\right)^3}=2^{\frac{3}{2}}$

Perhatikan bilangan kedua!

$4=2^2$

Perhatikan bilangan ketiga!

$\frac{1}{2}=2^{-1}$

Perhatikan bilangan keempat!

$\left(\frac{1}{16}\right)^{-1}=\left(\frac{1}{2^4}\right)^{-1}=\left(2^{-4}\right)^{-1}=2^{-4\times-1}=2^4$

Perhatikan bilangan kelima!

$2^{0,3}=2^{\frac{3}{10}}$

Karena semua basis telah sama, urutan bilangan terbesar hingga terkecil dapat dilihat dari pangkatnya.

Jadi, urutan bilangan eksponen terbesar hingga terkecil adalah $\left(\frac{1}{16}\right)^{-1\ }>4\ >\sqrt{8}>2^{0,3}\ >\ \frac{1}{2}$

Pembahasan:

Untuk mengetahui manakah yang termasuk fungsi eksponensial dengan laju pertumbuhan positif, kita perlu melihat kelima opsi yang ada terlebih dahulu. Fungsi eksponensial dengan laju pertumbuhan positif didefinisikan sebagai berikut:

$y\ =\ ab^x$

dengan syarat b > 1.

Opsi 1:

$\frac{1}{2}x^2+1$

Fungsi ini adalah fungsi kuadrat, jadi opsi ini salah.

Opsi 2:

$2000\cdot0.82^x$

Fungsi ini adalah fungsi eksponensial, tapi nilai b < 1, sehingga tidak memenuhi syarat. Opsi ini salah.

Opsi 3:

$x^3+x^2$

Fungsi ini adalah fungsi polinomial ($y\ =\ ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...+k$). Opsi ini salah.

Opsi 4:

$-x$

Fungsi ini adalah fungsi linear. Opsi ini salah.

Opsi 5:

$2000\cdot\left(1.82\right)^x$

Fungsi ini adalah fungsi eksponensial dengan b > 1. Opsi ini benar.

Pembahasan:

Bentuk umum fungsi eksponen adalah $f\left(x\right)=p^{ax+b}+c$ , asimtot datar pada fungsi eksponen adalah $y=c$

Jadi, asimtot datar pada $y=4^{2x+3}-5$ adalah $y=-5$

Pembahasan:

Akan dicek pada setiap jawaban yang ada.

Perhatikan pernyataan nomor 1!

Sifat eksponen $a^m\times a^n\ =\ a^{m+n}$

Pada pilihan jawaban $2^3\times2^6\ =\ 2^{3\times6}=2^{18}$ tidak tepat, seharusnya $2^3\times2^6\ =\ 2^{3+6}=2^9$. Maka pilihan jawaban 1 bukan merupakan sifat eksponen yang tepat.

Perhatikan pernyataan nomor 2!

Sifat eksponen $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$

Pada pilihan jawaban $\left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{2^4}{3^4}$ , maka pilihan jawaban 2 merupakan sifat eksponen yang tepat.

Perhatikan pernyataan nomor 3!

Sifat eksponen $a^m\div a^n=\ a^{m-n}$

Pada pilihan jawaban $5^4\div5=5^{4-1}=5^3$ , maka pilihan jawaban 3 merupakan sifat eksponen yang tepat.

Perhatikan pernyataan nomor 4!

Sifat eksponen $\left(a\times b\right)^m=a^m\times b^m$

Pada pilihan jawaban $\left(8\times3\right)^2=8^2+3^2$ tidak tepat, seharusnya $\left(8\times3\right)^2=8^2\times3^2$.

Maka pilihan jawaban 4 bukan merupakan sifat eksponen yang tepat.

Perhatikan pernyataan nomor 5!

Sifat eksponen $\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}$

Pada pilihan jawaban $\left(7^5\right)^4=7^{5\times4}=7^{20}$ , maka pilihan jawaban 5 merupakan sifat eksponen yang tepat.

Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah 2,3,5.

Pembahasan:

Diketahui:

$3^{x^2-x+2}\ >\ 9^{x^2-x+4}$

Ditanya:

x

Dijawab:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, pertama perlu disamakan terlebih dahulu nilai basis di kedua ruas.

$3^{x^2-x+2}\ >\ 3^{2\left(x^2-x+4\right)}$

Dari sifat pertidaksamaan eksponensial, jika $a^{f\left(x\right)}\ >\ a^{g\left(x\right)}$ dan a > 1 maka $f\left(x\right)\ >g\left(x\right)$.

$x^2-x+2\ >\ 2\left(x^2-x+4\right)$

$x^2-x+2\ >\ 2x^2-2x+8$

$0\ >\ x^2\ -\ x\ +\ 6\$

Atau bisa juga ditulis:

$x^2\ -\ x\ +\ 6\ <\ 0$

Faktorkan ruas kiri:

$\left(x-3\right)\left(x+2\right)\ <\ 0$

Hasil garis bilangannya adalah:

HP: {x | -2 < x < 3}

Pembahasan:

Diketahui:

Ditanya:

Jumlah nilai x

Dijawab:

Persamaan pertama adalah bentuk persamaan eksponensial. Kedua ruas memiliki basis dasar yang sama, yaitu 3. Karena $\frac{1}{243}\ =\ 3^{-5}$ :

$3^{4x+y}\ =\ 3^{-5}$

$4x+y\ =-5$

$y\ =\ -5-4x$ ...(3)

Substitusikan persamaan (3) ke persamaan kedua:

$x^2+7\left(-5-4x\right)\ =\ 25$

$x^2+-35-28x\ =\ 25$

$x^2-28x-60\ =\ 0$

Faktorkan persamaan kuadrat di atas:

$\left(x-30\right)\left(x+2\right)=\ 0$

$x\ =\ 30\ atau\ x\ =\ -2$

Jumlah nilai x = $30+\left(-2\right)\ =\ 28$

Pembahasan:

Diketahui:

Sistem persamaan

Ditanya:

$x\ +\ 2y$

Dijawab:

Pada persamaan pertama dapat disamakan dulu basisnya:

$2^{3x-4y}\ =\ 2^{-8}$

Karena basisnya sudah sama, kita dapat samakan pangkatnya:

$3x\ -\ 4y\ =\ -8$

Eliminasi dengan persamaan kedua akan diperoleh:

$x\ =\ -\frac{2}{5}$

Masukkan nilai x ini ke persamaan mana pun, semisal persamaan kedua:

$-\frac{2}{5}+2y\ =3$

$2y\ =\ 3\ +\ \frac{2}{5}\ =\ \frac{17}{5}$

$y\ =\ \frac{17}{10}$

Kemudian hitung nilai $x\ +\ 2y$:

$x\ +\ 2y\ =\ -\frac{2}{5}+\frac{17}{5}$

$=\frac{15}{5}\ =\ 3$

Jadi, hasil dari x + 2y adalah 3.

Pembahasan:

Persamaan $8^{3x^2-2x-8}=5^{3x^2-2x-8}$ sama dengan sifat eksponen $a^{f\left(x\right)}=b^{f\left(x\right)}$ dimana $a\ dan\ b>0\ serta\ a\ dan\ b\ \ne1$, dapat diselesaikan dengan $f\left(x\right)=0$

$\Leftrightarrow8^{3x^2-2x-8}=5^{3x^2-2x-8}$

$\Leftrightarrow3x^2-2x-8=0$

$\Leftrightarrow\ \left(3x+4\right)\left(x-2\right)=0$

$\Leftrightarrow\ x=-\frac{4}{3}\ dan\ x=2$

Jadi, $HP=\left\{-\frac{4}{3},2\right\}$

Pembahasan:

Diketahui:

$f\left(x\right)=5\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}$ digeser ke kanan 1 satuan, lalu digeser ke bawah 3 satuan menghasilkan grafik fungsi $h\left(x\right).$

Ditanya:

Nilai $h\left(-2\right)-h\left(0\right)=?$

Jawab:

Diketahui $f\left(x\right)=5\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}.$

Ingat bahwa,

untuk $a>0,$ grafik $y=f\left(x-a\right)$ artinya menggeser grafik $y=f\left(x\right)$ sejauh $a$ ke arah kanan pada sumbu $X$

untuk $b>0$, grafik $y=f\left(x\right)-b$ artinya menggeser grafik $y=f\left(x\right)$ sejauh $b$ ke arah bawah pada sumbu $Y$.

Dari informasi yang diberikan, didapatkan bahwa $h\left(x\right)=f\left(x-1\right)-3.$

Dengan demikian,

$h\left(-2\right)-h\left(0\right)=\left(f\left(-2-1\right)-3\right)-\left(f\left(0-1\right)-3\right)$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =f\left(-3\right)-3-f\left(-1\right)+3$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =f\left(-3\right)-f\left(-1\right)$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =5\left(\frac{1}{3}\right)^{2\left(-3\right)}-5\left(\frac{1}{3}\right)^{2\left(-1\right)}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =5\left(\frac{1}{3}\right)^{-6}-5\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =5\left(\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^6}\right)-5\left(\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2}\right)$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =5\left(3^6\right)-5\left(3^2\right)$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =5\cdot729-5\cdot9$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =5\left(729-9\right)$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =5\left(720\right)$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =3.600$

Jadi, nilai dari $h\left(-2\right)-h\left(0\right)$ adalah $3.600.$

Pembahasan:

Diketahui:

Grafik fungsi $f\left(x\right)=-3^{a-bx}$ memotong sumbu -$Y$ di titik $\left(0,-3\right)$

Jika grafik fungsi $f\left(x\right)$ digeser ke bawah 3 satuan akan menghasilkan grafik fungsi $g\left(x\right)$ yang melalui titik $\left(2,-6\right)$

Ditanya:

Persamaan grafik fungsi $g\left(x\right)$$=?$

Jawab:

Ingat rumus fungsi eksponensial

$a^p=a^{f\left(x\right)},$ maka $p=f\left(x\right)$

Diketahui $y=f\left(x\right)=-3^{a-bx}.$

Karena grafik $f\left(x\right)$ melalui titik $\left(0,-3\right)$, artinya $x=0$ dan $y=-3$, diperoleh

$-3=-3^{a-b\left(0\right)}$

$-3^1=-3^a$, sehingga $a=1$.

Sekarang, $f\left(x\right)=-3^{1-bx}.$

Jika $p>0$, grafik $y=f\left(x\right)-p$ artinya menggeser grafik $y=f\left(x\right)$ sejauh $p$ ke arah bawah pada sumbu $Y$.

Sehingga, $f\left(x\right)$ digeser 3 satuan ke bawah menjadi $g\left(x\right)$,

maka itu artinya $g\left(x\right)=f\left(x\right)-3=-3^{a-bx}-3.$

Karena grafik $g\left(x\right)$ melalui titik $\left(2,-6\right)$, artinya $x=2,\ y=-6$, diperoleh

$-6=-3^{1-b\left(2\right)}-3$

$-6+3=-3^{1-b\left(2\right)}$

$-3=-3^{1-b\left(2\right)}$

$-3^1=-3^{1-b\left(2\right)}$

$-3^1=-3^{1-2b}$

$1=1-2b$

$1-1=-2b$

$0=-2b$

$\frac{0}{-2}=b$

$b=0$

Dengan substitusi $a=1,\ b=0$, ke $g\left(x\right)=-3^{a-bx}-3$ diperoleh, $g\left(x\right)=-3^{1-0\left(x\right)}-3$.

Diperoleh, $g\left(x\right)=-3^1-3=-3-3=-6$.

Jadi, Persamaan grafik fungsi $g\left(x\right)=-6$ .