Contoh Soal

Pembahasan:

Bentuk umum fungsi eksponen adalah $f\left(x\right)=p^{ax+b}+c$ , asimtot datar pada fungsi eksponen adalah $y=c$

Jadi, asimtot datar pada $y=4^{2x+3}-5$ adalah $y=-5$

Pembahasan:

Untuk mengetahui manakah yang termasuk fungsi eksponensial dengan laju pertumbuhan positif, kita perlu melihat kelima opsi yang ada terlebih dahulu. Fungsi eksponensial dengan laju pertumbuhan positif didefinisikan sebagai berikut:

$y\ =\ ab^x$

dengan syarat b > 1.

Opsi 1:

$\frac{1}{2}x^2+1$

Fungsi ini adalah fungsi kuadrat, jadi opsi ini salah.

Opsi 2:

$2000\cdot0.82^x$

Fungsi ini adalah fungsi eksponensial, tapi nilai b < 1, sehingga tidak memenuhi syarat. Opsi ini salah.

Opsi 3:

$x^3+x^2$

Fungsi ini adalah fungsi polinomial ($y\ =\ ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...+k$). Opsi ini salah.

Opsi 4:

$-x$

Fungsi ini adalah fungsi linear. Opsi ini salah.

Opsi 5:

$2000\cdot\left(1.82\right)^x$

Fungsi ini adalah fungsi eksponensial dengan b > 1. Opsi ini benar.

Pembahasan:

Untuk menjawab pertanyaan di atas, perlu dicoba satu per satu opsi yang ada:

(1) Fungsi eksponen tidak memiliki titik puncak. Fungsi eksponen memiliki pola monoton naik atau monoton turun. Jadi pilihan 1 salah.

(2) Fungsi eksponen banyak digunakan dalam pemodelan laju pertumbuhan penduduk, bunga bank, pertumbuhan bakteri. Pilihan 2 benar.

(3) Fungsi eksponen tidak pernah memotong sumbu-x karena tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan $0\ =\ a^x$. Pilihan 3 salah.

(4) Fungsi eksponen $f\left(x\right)\ =2^x$ jika dimasukkan nilai x = 0 maka:

$f\left(0\right)\ =\ 2^0\ =1$

Pilihan 4 benar.

Jadi, jawabannya adalah pilihan 2 dan 4 benar.

Pembahasan:

Akan dicek pada setiap jawaban yang ada.

Perhatikan pernyataan nomor 1!

Sifat eksponen $a^m\times a^n\ =\ a^{m+n}$

Pada pilihan jawaban $2^3\times2^6\ =\ 2^{3\times6}=2^{18}$ tidak tepat, seharusnya $2^3\times2^6\ =\ 2^{3+6}=2^9$. Maka pilihan jawaban 1 bukan merupakan sifat eksponen yang tepat.

Perhatikan pernyataan nomor 2!

Sifat eksponen $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$

Pada pilihan jawaban $\left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{2^4}{3^4}$ , maka pilihan jawaban 2 merupakan sifat eksponen yang tepat.

Perhatikan pernyataan nomor 3!

Sifat eksponen $a^m\div a^n=\ a^{m-n}$

Pada pilihan jawaban $5^4\div5=5^{4-1}=5^3$ , maka pilihan jawaban 3 merupakan sifat eksponen yang tepat.

Perhatikan pernyataan nomor 4!

Sifat eksponen $\left(a\times b\right)^m=a^m\times b^m$

Pada pilihan jawaban $\left(8\times3\right)^2=8^2+3^2$ tidak tepat, seharusnya $\left(8\times3\right)^2=8^2\times3^2$.

Maka pilihan jawaban 4 bukan merupakan sifat eksponen yang tepat.

Perhatikan pernyataan nomor 5!

Sifat eksponen $\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}$

Pada pilihan jawaban $\left(7^5\right)^4=7^{5\times4}=7^{20}$ , maka pilihan jawaban 5 merupakan sifat eksponen yang tepat.

Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah 2,3,5.

Pembahasan:

Diketahui:

$3^{\sqrt{x^2-3x}}​\le1$

Ditanya:

x

Dijawab:

Pertidaksamaan eksponensial ini juga memiliki syarat tambahan, yaitu pangkatnya harus terdefinisi. Cara untuk memperoleh syarat ini adalah:

$x^{2\ }-3x\ \ge0$

$x\left(x-3\right)\ \ge0$

Garis bilangan:

Setelah kita mempunyai batasan jawaban, selesaikan pertidaksamaan eksponen seperti biasa:

$3^{\sqrt{x^2-3x}}\le3^0$

$\sqrt{x^2-3x}\le0$

Kuadratkan kedua ruas diperoleh:

$x^2-3x\le0$

$x\left(x-3\right)\le0$

Garis bilangan:

Dari sini, kita harus mengambil solusi yang memenuhi kedua garis bilangan di atas. Solusi yang dilalui oleh kedua garis bilangan di atas adalah:

$x\ =\ 0\ atau\ x\ =\ 3$

Pembahasan:

Bentuk persamaan eksponen pada soal adalah $a^{f\left(x\right)}=a^p$ dan penyelesaian bentuk persamaan tersebut adalah $f\left(x\right)=p$.

$\Leftrightarrow16^{2x-4}=\sqrt{128}$

Basis dari kedua ruas harus dibuat sama terlebih dahulu.

$\Leftrightarrow\left(2^4\right)^{2x-4}=8\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow\left(2^4\right)^{2x-4}=2^3\cdot2^{\frac{1}{2}}$

$\Leftrightarrow2^{4\left(2x-4\right)}=2^{3+\frac{1}{2}}$

$\Leftrightarrow2^{8x-16}=2^{\frac{7}{2}}$

Dikarenakan basis telah sama, maka $f\left(x\right)=p$

$\Leftrightarrow2^{8x-16}=2^{\frac{7}{2}}$

$\Leftrightarrow8x-16=\frac{7}{2}$

$\Leftrightarrow8x=\frac{7}{2}+16$

$\Leftrightarrow8x=\frac{39}{2}$

$\Leftrightarrow x=\frac{39}{2}\times\frac{1}{8}=\frac{39}{16}$

Pembahasan:

Diketahui:

$2^x+\sqrt{2^{x+4}}>32$

Ditanya:

HP x

Dijawab:

Pertidaksamaan tersebut dapat ditulis sebagai:

$2^x+2^{\frac{x+4}{2}}>2^5$

$2^x+2^{\frac{x}{2}}\cdot2^2>2^5$

$2^x+4\cdot2^{\frac{x}{2}}>32$

Misalkan $y\ =\ 2^{\frac{x}{2}}$:

$y^2+4y-32>0$

$\left(y+8\right)\left(y-4\right)>0$

Garis bilangan:

$y\ >\ 4\ atau\ y\ <\ -8$

Substitusikan kembali nilai y:

$2^{\frac{x}{2}}\ >\ 2^2\ atau\ 2^{\frac{x}{2}}\ <\ -8$

Karena $2^{\frac{x}{2}}\ >\ 0\$untuk semua nilai x riil, $2^{\frac{x}{2}}\ <-8\$ tidak memenuhi.

$2^{\frac{x}{2}}\ >2^2$

$\frac{x}{2}\ >2$

$x>4$

$HP:\ \left\{x\ \mid\ x\ >\ 4,\ x\in R\right\}$

Pembahasan:

Diketahui:

$f(x)=4^{2x-1}+3$

Ditanya:

Daerah hasil $f(x)$

Dijawab:

Untuk semua nilai riil x, berlaku $4^{2x-1}>0$ sehingga:

$f\left(x\right)\ >\ 3$

Pembahasan:

Diketahui:

$y=2^{2x+1}-5\cdot2^x+2$

Ditanya:

Jarak kedua titik potong terhadap kurva$=?$

Jawab:

Ingat sifat-sifat fungsi eksponensial

$a^{m+n}=a^m\cdot a^n$

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Diketahui $y=2^{2x+1}-5\cdot2^x+2$.

Saat grafik fungsi memotong sumbu -$X$, ordinat titik yang dilalui fungsi bernilai $0,$ ditulis $y=0$.

Sehingga diperoleh,

$2^{2x+1}-5\cdot2^x+2=0$

$2^{2x}\cdot2^1-5\cdot2^x+2=0$

$\left(2^x\right)^2\cdot2^1-5\cdot2^x+2=0$

Misalkan $2^x=a$, maka diperoleh

$2a^2-5a+2=0$

$\left(2a-1\right)\left(a-2\right)=0$

Diperoleh $a=\frac{1}{2}$ atau $a=2$.

Subtitusi kembali:

$a=2^x=\frac{1}{2}$

$2^x=2^{-1}$

$x=-1$

$a=2^x=2=2^1$

$2^x=2^1$

$x=1$

Sehingga, koordinat titik potong grafik fungsi terhadap sumbu -$X$ adalah $\left(-1,0\right)$ dan $\left(1,0\right)$.

Dengan $x_1=-1$ dan $x_2=1$

Jarak kedua titik potong kurva $y\$terhadap sumbu $X$ sama dengan selisih absis dari kedua titik, diperoleh $x_2-x_1=1-\left(-1\right)=2$

Jadi, jarak kedua titik ini pada bidang kertasius adalah $2.$

Pembahasan:

Diketahui:

Jumlah bakteri setelah 3 jam = $x_3$ = 10.000

Jumlah bakteri setelah 5 jam = $x_5\ =\ 40.000$

Ditanya:

Jumlah bakteri setelah 8 jam = $x_8$?

Dijawab:

Misalkan jumlah bakteri awal adalah x₀, dan laju pertumbuhan bakteri adalah r, maka persamaan untuk mencari x, jumlah bakteri setelah n jam adalah:

$x\ =\ x_0\ r^n$

Saat n = 3:

$10.000\ =\ x_0r^3$

Dan saat n = 5:

$40.000\ =\ x_0r^5$

Untuk mencari r, kita bagi persamaan kedua dengan pertama:

$\frac{40.000}{10.000}\ =\ \frac{x_0r^5}{x_0r^3}$

$4\ =\ r^2$

Nilai r yang memenuhi adalah:

$r\ =\ 2$

Masukkan nilai r ini ke salah satu persamaan, misalkan saat n = 3 akan menghasilkan:

$10.000\ =\ x_0\cdot2^3$

$10.000\ =\ x_0\cdot8$

$x_0\ =\ 1.250$

Dari sini, dapat diketahui bahwa jumlah bakteri mula-mula adalah 1.250 dan laju pertumbuhannya adalah menjadi 2 kali lipat setiap jam.

Untuk mencari jumlah bakteri setelah 8 jam:

$x\ =\ 1.250\cdot2^8$

$x\ =\ 320.000$

Jadi, jumlah bakteri setelah 8 jam adalah 320.000.