Contoh Soal

Vektor Ruang Dimensi Dua dan Tiga – Matematika SMA

Sampel materi untuk guru yang ingin cari soal latihan. Temukan bank soal lengkap dan update dengan cara mendaftar gratis. Kirim soal-soal ini ke murid di kelas Bapak/Ibu Guru lewat Google Classroom, dalam bentuk kuis online, tautan kuis, file kuis, atau cetak langsung!

Daftar

Pilih Kelas

Kelas 1 Kelas 2 Kelas 3 Kelas 4 Kelas 5 Kelas 6 Kelas 7 Kelas 8 Kelas 9 Kelas 10 Kelas 11 Kelas 12

Pilih Mata Pelajaran

Matematika Bahasa Indonesia Bahasa Inggris Fisika Kimia Biologi Ekonomi Sosiologi Geografi Sejarah Indonesia Sejarah Peminatan

Pilih Topik

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Fungsi dan Grafik Fungsi Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Variabel Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponensial Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Logaritma Vektor Ruang Dimensi Dua dan Tiga
    1.

    Diketahui dua vektor KL→\overrightarrow{KL} dan MN→\overrightarrow{MN}. Selisih kedua vektor tersebut adalah KL→−MN→\overrightarrow{KL}-\overrightarrow{MN} dan dapat dituliskan menjadi ....

    A

    MN→−KL→\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{KL}

    B

    LK→−NM→\overrightarrow{LK}-\overrightarrow{NM}

    C

    NM→+LK→\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{LK}

    D
    ✔

    KL→+NM→\overrightarrow{KL}+\overrightarrow{NM}

    E

    LK→+MN→\overrightarrow{LK}+\overrightarrow{MN}

    Pembahasan:

    Perlu diingat perkalian vektor dengan skalar, yaitu:

    Untuk sembarang skalar (bilangan real) kk dan vektor v⃗\vec{v} perkalian kv⃗k\vec{v} menghasilkan suatu vektor yang memiliki panjang ∣k∣\left|k\right| kali panjang vektor v⃗\vec{v} dan arahnya sama dengan arah v⃗\vec{v} jika k>0k>0, berlawanan arah dengan arah v⃗\vec{v} jika k<0k<0, atau sama dengan vektor nol jika k=0k=0.

    Jika skalar k=−1k=-1 dan vektor v⃗=AB→\vec{v}=\overrightarrow{AB}, maka kv⃗=−AB→k\vec{v}=-\overrightarrow{AB} dan memiliki panjang ∣−1∣=1\left|-1\right|=1 kali panjang AB→\overrightarrow{AB} (panjangnya sama) serta arahnya berlawanan dengan vektor AB→\overrightarrow{AB} (sebab −1<0-1<0). Oleh karena itu vektor −AB→-\overrightarrow{AB} memiliki titik awal BB dan titik ujung AA atau dapat ditulis sebagai vektor BA→\overrightarrow{BA}.

    Pada soal diketahui dua vektor KL→\overrightarrow{KL} dan MN→\overrightarrow{MN}. Berdasarkan penjelasan sebelumnya diperoleh −MN→=NM→-\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{NM} sehingga didapat

    KL→−MN→=KL→+NM→\overrightarrow{KL}-\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{KL}+\overrightarrow{NM}

    2.

    Hasil penjumlahan vektor AB→+BC→+CD→+DP→+PQ→+QR→\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {DP}+\overrightarrow {PQ}+\overrightarrow {QR} adalah ....

    A

    AB→\overrightarrow {AB}

    B

    AC→\overrightarrow {AC}

    C

    AP→\overrightarrow {AP}

    D

    AQ→\overrightarrow {AQ}

    E
    ✔

    AR→\overrightarrow {AR}

    Pembahasan:

    Secara umum penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan menempatkan titik awal suatu vektor (misal QR→\overrightarrow{QR}) ke titik ujung vektor yang lain (misal PQ→\overrightarrow{PQ}), sehigga diperoleh

    PQ→+QR→=PR→\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}

    Hal tersebut tetap berlaku untuk penjumlahan nn vektor, secara umum dapat ditulis dengan

    AB→+BC→+CD→+⋯+MN→=AN→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\dots+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}

    Pada soal diketahui penjumlahan AB→+BC→+CD→+DP→+PQ→+QR→\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {DP}+\overrightarrow {PQ}+\overrightarrow {QR}

    Berdasarkan penjumlahan nn vektor, maka

    AB→+BC→+CD→+DP→+PQ→+QR→=AR→\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {DP}+\overrightarrow {PQ}+\overrightarrow {QR}=\overrightarrow {AR}

    Jadi, hasil penjumlahan vektor tersebut adalah AR→.\overrightarrow {AR}.

    Ingin coba latihan soal dengan kuis online?

    Kejar Kuis
    3.

    Hasil penjumlahan vektor AB→+AD→+BC→+CD→\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD} adalah ....

    A

    2AC→2\overrightarrow {AC}

    B

    AC→\overrightarrow {AC}

    C

    AA→\overrightarrow {AA}

    D
    ✔

    2AD→2\overrightarrow{AD}

    E

    AD→\overrightarrow{AD}

    Pembahasan:

    Secara umum penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan menempatkan titik awal suatu vektor (misal QR→\overrightarrow{QR}) ke titik ujung vektor yang lain (misal PQ→\overrightarrow{PQ}), sehigga diperoleh

    PQ→+QR→=PR→\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}

    Hal tersebut tetap berlaku untuk penjumlahan nn vektor, secara umum dapat ditulis dengan

    AB→+BC→+CD→+...+LM→+MN→=AN→\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {BC} +\overrightarrow {CD} + ... +\overrightarrow {LM} +\overrightarrow {MN} =\overrightarrow {AN}

    Selain itu, berdasarkan sifat komutatif, berlaku

    PQ→+QR→=QR→+PQ→\overrightarrow {PQ}+\overrightarrow {QR}=\overrightarrow {QR}+\overrightarrow {PQ}

    Pada soal diketahui AB→+AD→+BC→+CD→\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD} dengan menggunakan sifat komutatif maka diperoleh

    AB→+AD→+BC→+CD→=AB→+BC→+CD→+AD→\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {AD}

    ⇔\Leftrightarrow AB→+AD→+BC→+CD→\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AD} +\overrightarrow {BC} +\overrightarrow {CD} =(AB→+BC→+CD→)+AD→=\left(\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {BC} +\overrightarrow {CD} \right) +\overrightarrow {AD}

    Dengan menggunakan prinsip penjumlahan nn vektor, diperoleh

    ⇔AB→+AD→+BC→+CD→=AD→+AD→\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AD} +\overrightarrow {BC} +\overrightarrow {CD} =\overrightarrow {AD} +\overrightarrow {AD}

    ⇔AB→+AD→+BC→+CD→=2×AD→\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AD} +\overrightarrow {BC} +\overrightarrow {CD} =2\times \overrightarrow {AD}

    ⇔AB→+AD→+BC→+CD→=2AD→\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AD} +\overrightarrow {BC} +\overrightarrow {CD} =2\overrightarrow {AD}

    Jadi, hasil penjumlahan vektor tersebut adalah 2AD→.2\overrightarrow{AD}.

    4.

    Vektor di bawah ini yang merupakan vektor nol adalah ....

    A

    AB→\overrightarrow{AB}

    B

    AC→\overrightarrow{AC}

    C

    ST→\overrightarrow{ST}

    D

    LM→\overrightarrow{LM}

    E
    ✔

    KK→\overrightarrow{KK}

    Pembahasan:

    Vektor nol adalah sebuah vektor yang titik pangkal dan titik ujungnya berimpit (sama). Vektor nol dapat dinotasikan dengan 0.→\overrightarrow{0.} Vektor nol memiliki panjang nol dengan arah tak tentu.

    Jadi, dari pilihan yang ada, vektor yang merupakan vektor nol adalah KK,→\overrightarrow{KK,} karena titik pangkal dan titik ujungnya sama-sama titik K.

    Ingin cari soal-soal HOTS?

    Soal HOTS
    5.

    Diketahui vektor-vektor p⃗=2a⃗+3b⃗−c⃗, q⃗=−4a⃗+b⃗−2c⃗,\vec{p}=2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c},\ \vec{q}=-4\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}, dan r⃗=a⃗−2b⃗−2c⃗\vec{r}=\vec{a}-2\vec{b}-2\vec{c}. Hasil dari 2p⃗−3q⃗−r⃗2\vec{p}-3\vec{q}-\vec{r} adalah ....

    A

    15a⃗−5b⃗+6c⃗15\vec{a}-5\vec{b}+6\vec{c}

    B
    ✔

    15a⃗+5b⃗+6c⃗15\vec{a}+5\vec{b}+6\vec{c}

    C

    15a⃗+5b⃗−6c⃗15\vec{a}+5\vec{b}-6\vec{c}

    D

    17a⃗−b⃗+2c⃗17\vec{a}-\vec{b}+2\vec{c}

    E

    17a⃗+b⃗−2c⃗17\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}

    Pembahasan:

    Diketahui vektor-vektor

    p⃗=2a⃗+3b⃗−c⃗\vec{p}=2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c}

    q⃗=−4a⃗+b⃗−2c⃗\vec{q}=-4\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c} dan

    r⃗=a⃗−2b⃗−2c⃗\vec{r}=\vec{a}-2\vec{b}-2\vec{c}.

    Dengan substitusi diperoleh

    2p⃗−3q⃗−r⃗=2(2a⃗+3b⃗−c⃗)−3(−4a⃗+b⃗−2c⃗)−(a⃗−2b⃗−2c⃗)2\vec{p}-3\vec{q}-\vec{r}=2\left(2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c}\right)-3\left(-4\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}\right)-\left(\vec{a}-2\vec{b}-2\vec{c}\right)

    ⇔2p⃗−3q⃗−r⃗=4a⃗+6b⃗−2c⃗+12a⃗−3b⃗+6c⃗−a⃗+2b⃗+2c⃗\Leftrightarrow2\vec{p}-3\vec{q}-\vec{r}=4\vec{a}+6\vec{b}-2\vec{c}+12\vec{a}-3\vec{b}+6\vec{c}-\vec{a}+2\vec{b}+2\vec{c}

    ⇔2p⃗−3q⃗−r⃗=4a⃗+12a⃗−a⃗+6b⃗−3b⃗+2b⃗−2c⃗+6c⃗+2c⃗\Leftrightarrow2\vec{p}-3\vec{q}-\vec{r}=4\vec{a}+12\vec{a}-\vec{a}+6\vec{b}-3\vec{b}+2\vec{b}-2\vec{c}+6\vec{c}+2\vec{c}

    ⇔2p⃗−3q⃗−r⃗=(4+12−1)a⃗+(6−3+2)b⃗+(−2+6+2)c⃗\Leftrightarrow2\vec{p}-3\vec{q}-\vec{r}=\left(4+12-1\right)\vec{a}+\left(6-3+2\right)\vec{b}+\left(-2+6+2\right)\vec{c}

    ⇔2p⃗−3q⃗−r⃗=15a⃗+5b⃗+6c⃗\Leftrightarrow2\vec{p}-3\vec{q}-\vec{r}=15\vec{a}+5\vec{b}+6\vec{c}

    6.

    Diketahui ∣u⃗∣=4\left|\vec{u}\right|=4 dan ∣v⃗∣=5\left|\vec{v}\right|=\sqrt{5}. Jika vektor v⃗\vec{v} tegak lurus dengan vektor w⃗=(u⃗−v⃗)\vec{w}=\left(\vec{u}-\vec{v}\right) maka nilai cosinus sudut antara vektor u⃗\vec{u} dan v⃗\vec{v} adalah ....

    A

    00

    B

    −145-\frac{1}{4}\sqrt{5}

    C
    ✔

    145\frac{1}{4}\sqrt{5}

    D

    125\frac{1}{2}\sqrt{5}

    E

    −125-\frac{1}{2}\sqrt{5}

    Pembahasan:

    Diketahui:

    Vektor v⃗\vec{v} tegak lurus dengan vektor w⃗=(u⃗−v⃗)\vec{w}=\left(\vec{u}-\vec{v}\right) dengan ∣u⃗∣=4\left|\vec{u}\right|=4 dan ∣v⃗∣=5\left|\vec{v}\right|=\sqrt{5}.

    Ditanya:

    Nilai cosinus sudut antara vektor u⃗\vec{u} dan v⃗\vec{v} ?

    Jawab:

    Perlu diingat definisi perkalian skalar sembarang vektor p⃗\vec{p} dan q⃗\vec{q} yaitu

    p⃗⋅q⃗=∣p⃗∣⋅∣q⃗∣cos⁡θ\vec{p}\cdot\vec{q}=\left|\vec{p}\right|\cdot\left|\vec{q}\right|\cos\theta

    dengan θ\theta adalah sudut yang diapit oleh vektor p⃗\vec{p} dan q⃗\vec{q}. 

    Selain itu, juga perlu diingat beberapa sifat berikut

    p⃗⋅(q⃗−r⃗)=p⃗⋅q⃗−p⃗⋅r⃗\vec{p}\cdot\left(\vec{q}-\vec{r}\right)=\vec{p}\cdot\vec{q}-\vec{p}\cdot\vec{r}

    p⃗⋅p⃗=∣p⃗∣2\vec{p}\cdot\vec{p}=\left|\vec{p}\right|^2 dan

    vektor p⃗\vec{p} dan q⃗\vec{q} dikatakan tegak lurus jika dan hanya jika p⃗⋅q⃗=0\vec{p}\cdot\vec{q}=0

    dengan

    Diketahui vektor v⃗\vec{v} tegak lurus dengan vektor w⃗=(u⃗−v⃗)\vec{w}=\left(\vec{u}-\vec{v}\right), didapat

    v⃗⋅w⃗=0\vec{v}\cdot\vec{w}=0

    ⇔v⃗⋅(u⃗−v⃗)=0\Leftrightarrow\vec{v}\cdot\left(\vec{u}-\vec{v}\right)=0

    ⇔(v⃗⋅u⃗)−(v⃗⋅v⃗)=0\Leftrightarrow\left(\vec{v}\cdot\vec{u}\right)-\left(\vec{v}\cdot\vec{v}\right)=0

    ⇔∣v⃗∣⋅∣u⃗∣cos⁡θ−∣v⃗∣2=0\Leftrightarrow\left|\vec{v}\right|\cdot\left|\vec{u}\right|\cos\theta-\left|\vec{v}\right|^2=0

    ⇔5.4cos⁡θ−(5)2=0\Leftrightarrow\sqrt{5}.4\cos\theta-\left(\sqrt{5}\right)^2=0

    ⇔45cos⁡θ−5=0\Leftrightarrow4\sqrt{5}\cos\theta-5=0

    ⇔45cos⁡θ=5\Leftrightarrow4\sqrt{5}\cos\theta=5

    ⇔cos⁡θ=545\Leftrightarrow\cos\theta=\frac{5}{4\sqrt{5}}

    ⇔cos⁡θ=54555\Leftrightarrow\cos\theta=\frac{5}{4\sqrt{5}}\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

    ⇔cos⁡θ=145\Leftrightarrow\cos\theta=\frac{1}{4}\sqrt{5}

    Ingin cari soal-soal AKM?

    Hubungi Kami
    7.

    Diketahui OO adalah titik awal. Jika a→\overrightarrow{a} adalah vektor posisi AA, b→\overrightarrow{b} adalah vektor posisi BB, dan c→\overrightarrow{c} adalah vektor posisi CC serta AD→=b→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}, BE→=c→\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{c}, dan DM→=OE→\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{OE}, maka vektor posisi MM adalah ....

    A
    ✔

    a→+2b→+c→\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}

    B

    a→+b→+c→\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}

    C

    a→−2b→+c→\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}

    D

    a→−2b→−c→\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}

    E

    a→−b→+c→\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}

    Pembahasan:

    Diketahui:

    a→\overrightarrow{a} adalah vektor posisi AA: OA→=a→\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}

    b→\overrightarrow{b} adalah vektor posisi BB: OB→=b→\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}

    c→\overrightarrow{c} adalah vektor posisi CC: OC→=c→\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}

    AD→=b→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}

    BE→=c→\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{c}

    DM→=OE→\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{OE}

    Ditanya:

    Vektor posisi MM: OM→=?\overrightarrow{OM}=?

    Jawab:

    Secara umum, penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan menempatkan titik awal suatu vektor (misal QR→\overrightarrow{QR}) ke titik ujung vektor yang lain (misal PQ→\overrightarrow{PQ}), sehingga diperoleh:

    PQ→+QR→=PR→\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}

    Hal tersebut tetap berlaku untuk penjumlahan nn vektor, secara umum dapat ditulis dengan

    AB→+BC→+CD→+...+LM→+MN→=AN→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+...+\overrightarrow{LM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}

    Kita dapat menemukan vektor posisi MM berdasarkan hal-hal yang sudah diketahui dan dapat ditulis sebagai berikut.

    OM→=OA→+AD→+DM→\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}

    Diketahui DM→=OE→\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{OE}, maka

    ⇔ OM→=OA→+AD→+(OB→+BE→)\Leftrightarrow\ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BE}\right)

    Substitusikan vektor-vektor yang sudah diketahui.

    ⇔ OM→=a→+b→+(b→+c→)\Leftrightarrow\ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)

    ⇔ OM→=a→+b→+b→+c→\Leftrightarrow\ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}

    ⇔ OM→=a→+2b→+c→\Leftrightarrow\ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}

    Jadi, vektor posisi MM adalah a→+2b→+c→.\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}.

    8.

    Diketahui segitiga PQRPQR dengan titik SS berada pada garis PRPR dan titik TT berada pada garis RQRQ. Jika ∣PS→∣:∣SR→∣=2:1\left|\overrightarrow{PS}\right|:\left|\overrightarrow{SR}\right|=2:1 dan ∣RT→∣:∣TQ→∣=4:1\left|\overrightarrow{RT}\right|:\left|\overrightarrow{TQ}\right|=4:1 serta QP→=u⃗\overrightarrow{QP}=\vec{u} dan QR→=v⃗\overrightarrow{QR}=\vec{v} maka ST→\overrightarrow{ST} sama dengan ....

    A

    −12u⃗−715v⃗-\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{7}{15}\vec{v}

    B

    13u⃗+1715v⃗\frac{1}{3}\vec{u}+\frac{17}{15}\vec{v}

    C

    −13u⃗−1715v⃗-\frac{1}{3}\vec{u}-\frac{17}{15}\vec{v}

    D

    13u⃗+715v⃗\frac{1}{3}\vec{u}+\frac{7}{15}\vec{v}

    E
    ✔

    −13u⃗−715v⃗-\frac{1}{3}\vec{u}-\frac{7}{15}\vec{v}

    Pembahasan:

    Diketahui:

    Segitiga PQRPQR dengan titik SS berada pada garis PRPR dan titik TT berada pada garis RQRQ. Diketahui pula ∣PS→∣:∣SR→∣=2:1\left|\overrightarrow{PS}\right|:\left|\overrightarrow{SR}\right|=2:1 dan ∣RT→∣:∣TQ→∣=4:1\left|\overrightarrow{RT}\right|:\left|\overrightarrow{TQ}\right|=4:1 serta QP→=u⃗\overrightarrow{QP}=\vec{u} dan QR→=v⃗\overrightarrow{QR}=\vec{v}

    Ditanya:

    ST→\overrightarrow{ST} sama dengan ?

    Jawab:

    Perhatikan ilustrasi berikut!

    Secara umum penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan menempatkan titik awal suatu vektor (misal QR→\overrightarrow{QR}) ke titik ujung vektor yang lain (misal PQ→\overrightarrow{PQ}), diperoleh

    PQ→+QR→=PR→\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}

    Perlu diingat bahwa untuk sembarang titik AA dan BB serta CC titik tengah garis ABAB berlaku

    AC→=CB→=12AB→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}

    dan untuk titik DD yang membagi ABAB dengan perbandingan AD:DB=m:nAD:DB=m:n berlaku

    AD→=mm+nAB→\overrightarrow{AD}=\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB} dan DB→=nm+nAB→\overrightarrow{DB}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{AB}

    Diperoleh

    ST→=SR→+RT→\overrightarrow{ST}=\overrightarrow{SR}+\overrightarrow{RT}

    ⇔ST→=13PR→+45RQ→\Leftrightarrow\overrightarrow{ST}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PR}+\frac{4}{5}\overrightarrow{RQ}

    ⇔ST→=13(PQ→+QR→)+45RQ→\Leftrightarrow\overrightarrow{ST}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}\right)+\frac{4}{5}\overrightarrow{RQ}

    Perlu diingat untuk skalar k=−1k=-1 dan vektor v⃗=AB→\vec{v}=\overrightarrow{AB}, maka kv⃗=−AB→k\vec{v}=-\overrightarrow{AB} dan memiliki panjang ∣−1∣=1\left|-1\right|=1 kali panjang AB→\overrightarrow{AB} (panjangnya sama) serta arahnya berlawanan dengan vektor AB→\overrightarrow{AB} (sebab −1<0-1<0). Oleh karena itu vektor −AB→-\overrightarrow{AB} memiliki titik awal BB dan titik ujung AA atau dapat ditulis sebagai vektor BA→\overrightarrow{BA}.

    Diperoleh

    ST→=13(−QP→+QR→)−45QR→\overrightarrow{ST}=\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{QR}\right)-\frac{4}{5}\overrightarrow{QR}

    ⇔ST→=13(−u⃗+v⃗)−45v⃗\Leftrightarrow\overrightarrow{ST}=\frac{1}{3}\left(-\vec{u}+\vec{v}\right)-\frac{4}{5}\vec{v}

    ⇔ST→=−13u⃗+13v⃗−45v⃗\Leftrightarrow\overrightarrow{ST}=-\frac{1}{3}\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{v}-\frac{4}{5}\vec{v}

    ⇔ST→=−13u⃗+5−1215v⃗\Leftrightarrow\overrightarrow{ST}=-\frac{1}{3}\vec{u}+\frac{5-12}{15}\vec{v}

    ⇔ST→=−13u⃗−715v⃗\Leftrightarrow\overrightarrow{ST}=-\frac{1}{3}\vec{u}-\frac{7}{15}\vec{v}

    Ingin tanya tutor?

    Tanya Tutor
    9.

    Jika diketahui dua persamaan vektor sebagai berikut.

    maka, titik potong kedua persamaan vektor di atas adalah ....

    A
    ✔

    (7, 3)

    B

    (3, 7)

    C

    (2, 3)

    D

    (3, 2)

    E

    (2, -3)

    Pembahasan:

    Diketahui:

    Ditanya:

    titik potong=?

    Jawab:

    dan , maka

    dan

    Dengan demikian,

    diperoleh dua persamaan, yaitu:

    3+2s=13−2t ⇔ 2s+2t=103+2s=13-2t\ \Leftrightarrow\ 2s+2t=10 ...(1)

    −5+4s=−6+3t ⇔ 4s−3t=−1-5+4s=-6+3t\ \Leftrightarrow\ 4s-3t=-1 ...(2)

    Lakukan eliminasi pada persamaan (1) dan (2)

    Substitusikan nilai s=2s=2 ke salah satu persamaan.

    4s−3t=−14s-3t=-1

    ⇔ 4(2)−3t=−1\Leftrightarrow\ 4\left(2\right)-3t=-1

    ⇔ 8−3t=−1\Leftrightarrow\ 8-3t=-1

    ⇔ −3t=−1−8\Leftrightarrow\ -3t=-1-8

    ⇔ −3t=−9\Leftrightarrow\ -3t=-9

    ⇔ t=−9−3\Leftrightarrow\ t=\frac{-9}{-3}

    ⇔ t=3\Leftrightarrow\ t=3

    Substitusikan s=2s=2 dan t=3t=3 ke persamaan vektor awal untuk menemukan titik potongnya.

    Untuk s=2s=2, maka

    Untuk t=3t=3, maka

    Jadi, titik potong kedua persamaan tersebut adalah (7, 3).

    10.

    Diberikan A(4, 2, 1), B(1, 1, 1), C(2, 1, 3)A\left(4,\ 2,\ 1\right),\ B\left(1,\ 1,\ 1\right),\ C\left(2,\ 1,\ 3\right), dan D(0, 1, 4)D\left(0,\ 1,\ 4\right). Jika O(0, 0, 0)O\left(0,\ 0,\ 0\right) dan OD→=hOA→+kOB→+lOD→\overrightarrow{OD}=h\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}+l\overrightarrow{OD}, maka nilai h, k,h,\ k, dan ll berturut-turut adalah ....

    A
    ✔

    -1, 2, 1

    B

    1, 2, 1

    C

    1, 2, -1

    D

    1, -2, -1

    E

    -1, -2, 1

    Pembahasan:

    Diketahui:

    A(4, 2, 1)⇔ a→=(4, 2, 1)A\left(4,\ 2,\ 1\right)\Leftrightarrow\ \overrightarrow{a}=\left(4,\ 2,\ 1\right)

    B(1, 1, 1)⇔b→=(1, 1, 1)B\left(1,\ 1,\ 1\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{b}=\left(1,\ 1,\ 1\right)

    C(2, 1, 3)⇔c→=(2, 1, 3)C\left(2,\ 1,\ 3\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{c}=\left(2,\ 1,\ 3\right)

    D(0, 1, 4)⇔c→=(0, 1, 4)D\left(0,\ 1,\ 4\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{c}=\left(0,\ 1,\ 4\right)

    OD→=hOA→+kOB→+lOC→\overrightarrow{OD}=h\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}+l\overrightarrow{OC}

    Ditanya:

    h=?h=?

    k=?k=?

    l=?l=?

    Jawab:

    Misalkan vektor-vektor posisi dari A, B, C,A,\ B,\ C, dan DD adalah a→, b→, c→\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c} dan d→\overrightarrow{d} , maka

    OD→=hOA→+kOB→ +lOC→⇔ d→=ha→+kb→+lc→\overrightarrow{OD}=h\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}\ +l\overrightarrow{OC}\Leftrightarrow\ \overrightarrow{d}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}+l\overrightarrow{c}

    Untuk lebih memudahkan, selanjutnya vektor akan disajikan dengan vektor kolom.

    Sehingga diperoleh tiga persamaan:

    4h+k+2l=04h+k+2l=0 ...(1)

    2h+k+l=12h+k+l=1 ...(2)

    h+k+3l=4h+k+3l=4 ...(3)

    Lakukan eliminasi pada persamaan (1) dan (2)

    Lakukan eliminasi pada persamaan (1) dan (3)

    Lakukan eliminasi lagi pada persamaan (4) dan (5)

    Substitusi h=−1h=-1 ke persamaan (4) atau (5)

    2h+l=−12h+l=-1

    ⇔ 2(−1)+l=−1\Leftrightarrow\ 2\left(-1\right)+l=-1

    ⇔ −2+l=−1\Leftrightarrow\ -2+l=-1

    ⇔ l=−1+2\Leftrightarrow\ l=-1+2

    ⇔ l=1\Leftrightarrow\ l=1

    Substitusi h=−1h=-1 dan l=1l=1 ke persamaan (1), (2), atau (3)

    4h+k+2l=04h+k+2l=0

    ⇔ 4(−1)+k+2(1)=0\Leftrightarrow\ 4\left(-1\right)+k+2\left(1\right)=0

    ⇔ −4+k+2=0\Leftrightarrow\ -4+k+2=0

    ⇔ −2+k=0\Leftrightarrow\ -2+k=0

    ⇔ k=2\Leftrightarrow\ k=2

    Uji nilai h=−1h=-1, k=2k=2, dan l=1l=1

    OD→=hOA→+kOB→ +lOC→\overrightarrow{OD}=h\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}\ +l\overrightarrow{OC}

    ⇔ d→=ha→+kb→+lc→\Leftrightarrow\ \overrightarrow{d}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}+l\overrightarrow{c}

    [terbukti benar]

    Jadi, nilai h, k dan l berturut-turut adalah -1, 2, 1.

    Daftar dan dapatkan akses ke puluhan ribu soal lainnya!

    Buat Akun Gratis