Contoh Soal

Pembahasan:

Perlu diingat perkalian vektor dengan skalar, yaitu:

Untuk sembarang skalar (bilangan real) $k$ dan vektor $\vec{v}$ perkalian $k\vec{v}$ menghasilkan suatu vektor yang memiliki panjang $\left|k\right|$ kali panjang vektor $\vec{v}$ dan arahnya sama dengan arah $\vec{v}$ jika $k>0$, berlawanan arah dengan arah $\vec{v}$ jika $k<0$, atau sama dengan vektor nol jika $k=0$.

Jika skalar $k=-1$ dan vektor $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$, maka $k\vec{v}=-\overrightarrow{AB}$ dan memiliki panjang $\left|-1\right|=1$ kali panjang $\overrightarrow{AB}$ (panjangnya sama) serta arahnya berlawanan dengan vektor $\overrightarrow{AB}$ (sebab $-1<0$). Oleh karena itu vektor $-\overrightarrow{AB}$ memiliki titik awal $B$ dan titik ujung $A$ atau dapat ditulis sebagai vektor $\overrightarrow{BA}$.

Pada soal diketahui dua vektor $\overrightarrow{KL}$ dan $\overrightarrow{MN}$. Berdasarkan penjelasan sebelumnya diperoleh $-\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{NM}$ sehingga didapat

$\overrightarrow{KL}-\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{KL}+\overrightarrow{NM}$

Pembahasan:

Vektor nol adalah sebuah vektor yang titik pangkal dan titik ujungnya berimpit (sama). Vektor nol dapat dinotasikan dengan $\overrightarrow{0.}$ Vektor nol memiliki panjang nol dengan arah tak tentu.

Jadi, dari pilihan yang ada, vektor yang merupakan vektor nol adalah $\overrightarrow{KK,}$ karena titik pangkal dan titik ujungnya sama-sama titik K.

Pembahasan:

Secara umum penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan menempatkan titik awal suatu vektor (misal $\overrightarrow{QR}$) ke titik ujung vektor yang lain (misal $\overrightarrow{PQ}$), sehigga diperoleh

$\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$

Hal tersebut tetap berlaku untuk penjumlahan $n$ vektor, secara umum dapat ditulis dengan

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\dots+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}$

Pada soal diketahui penjumlahan $\overrightarrow {TS} +\overrightarrow {SR} +\overrightarrow {RA} +\overrightarrow {AB}$

Berdasarkan penjumlahan $n$ vektor, maka

$\overrightarrow {TS} +\overrightarrow {SR} +\overrightarrow {RA} +\overrightarrow {AB} =\overrightarrow {TB}$

Jadi, hasil penjumlahan vektor tersebut adalah $\overrightarrow {TB}.$

Pembahasan:

Secara umum penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan menempatkan titik awal suatu vektor (misal $\overrightarrow{QR}$) ke titik ujung vektor yang lain (misal $\overrightarrow{PQ}$), sehigga diperoleh

$\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$

Hal tersebut tetap berlaku untuk penjumlahan $n$ vektor, secara umum dapat ditulis dengan

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\dots+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}$

Pada soal diketahui penjumlahan $\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {DP}+\overrightarrow {PQ}+\overrightarrow {QR}$

Berdasarkan penjumlahan $n$ vektor, maka

$\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {DP}+\overrightarrow {PQ}+\overrightarrow {QR}=\overrightarrow {AR}$

Jadi, hasil penjumlahan vektor tersebut adalah $\overrightarrow {AR}.$

Pembahasan:

Selanjutnya, secara umum jika diketahui vektor posisi $\overrightarrow{OA}$ dan $\overrightarrow{OB}$, maka vektor $\overrightarrow{AB}$ dapat dicari menggunakan rumus $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$.

Pada soal diketahui vektor $\vec{p},\ \vec{q},\ \vec{r}$ tidak sejajar dan diketahui pula $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PR}$. Diperoleh

$\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PR}$

$\Leftrightarrow\vec{q}-\vec{p}=\frac{1}{2}\left(\vec{r}-\vec{p}\right)$

$\Leftrightarrow\vec{q}-\vec{p}=\frac{1}{2}\vec{r}-\frac{1}{2}\vec{p}$

$\Leftrightarrow\vec{q}-\frac{1}{2}\vec{r}=-\frac{1}{2}\vec{p}+\vec{p}$

$\Leftrightarrow\vec{q}-\frac{1}{2}\vec{r}=\frac{1}{2}\vec{p}$

$\Leftrightarrow2\left(\vec{q}-\frac{1}{2}\vec{r}\right)=\vec{p}$

$\Leftrightarrow2\vec{q}-\vec{r}=\vec{p}$

Pembahasan:

Diketahui:

$A\left(6,\ -1,\ -5\right)\ \Leftrightarrow\ \overrightarrow{a}=\left(6,\ -1,\ -5\right)$

$B\left(2,\ -5,\ -1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \overrightarrow{b}=\left(2,\ -5,\ -1\right)$

$P$ membagi $\overrightarrow{AB}$ di dalam dengan perbandingan $3:1$, maka

$\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=3:1$

Ditanya:

Koordinat titik P=?

Jawab:

Jika titik $P$ membagi garis $AB$ di dalam dengan rasio $m:n$. Misalkan $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$, dan $\overrightarrow{p}$ merupakan vektor posisi $A,\ B,$ dan $P$, sehingga

$\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=m:n$, maka

$\overrightarrow{p}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}$

$\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=3:1$ atau dapat diilustrasikan seperti gambar di bawah ini.

$P=\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{p}$

$\Leftrightarrow\ \frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}$

$\Leftrightarrow\ \frac{1\left(6,\ -1,\ -5\right)+3\left(2,\ -5,\ -1\right)}{3+1}$

$\Leftrightarrow\ \frac{\left(6,\ -1,\ -5\right)+\left(3\left(2\right),\ 3\left(-5\right),\ 3\left(-1\right)\right)}{4}$

$\Leftrightarrow\ \frac{\left(6,\ -1,\ -5\right)+\left(6,\ -15,\ -3\right)}{4}$

$\Leftrightarrow\ \frac{\left[\left(6+6\right),\ \left(-1+\left(-15\right)\right),\ \left(-5+\left(-3\right)\right)\right]}{4}$

$\Leftrightarrow\ \frac{\left(12,\ -16,\ -8\right)}{4}$

$\Leftrightarrow\ \left(\frac{12}{4},\ \frac{-16}{4},\ \frac{-8}{4}\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(3,\ -4,\ -2\right)$

Jadi, koordinat titik $P$ adalah $\left(3,\ -4,\ -2\right).$

Pembahasan:

Diketahui:

$A\left(4,\ 7\right)\Leftrightarrow\ \overrightarrow{a}=\left(4,\ 7\right)$

$B\left(5,\ 3\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{b}=\left(5,\ 3\right)$

$C\left(-2,-15\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{c}=\left(-2,\ -15\right)$

$\overrightarrow{OC}=h\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}$

Ditanya:

$h=?$

$k=?$

Jawab:

Misalkan vektor-vektor posisi dari $A,\ B,$ dan $C$ adalah $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},$ dan $\overrightarrow{c}$, maka

$\overrightarrow{OC}=h\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}\ \Leftrightarrow\ \overrightarrow{c}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$

$\Leftrightarrow\ \left(-2,\ -15\right)=h\left(4,\ 7\right)+k\left(5,\ 3\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(-2,\ -15\right)=\left(4h,\ 7h\right)+\left(5k,\ 3k\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(-2,\ -15\right)=\left(\left(4h+5k\right),\ \left(7h+3k\right)\right)$

Sehingga diperoleh dua persamaan:

$-2=4h+5k\ \Leftrightarrow\ 4h+5k=-2$ ...(1)

$-15=7h+3k\Leftrightarrow7h+3k=-15$ ...(2)

Lakukan eliminasi pada persamaan (1) dan (2)

Substitusi $h=-3$ ke salah satu persamaan

$4h+5k=-2$

$\Leftrightarrow\ 4\left(-3\right)+5k=-2$

$\Leftrightarrow\ -12+5k=-2$

$\Leftrightarrow\ 5k=-2+12$

$\Leftrightarrow\ 5k=10$

$\Leftrightarrow\ k=\frac{10}{5}$

$\Leftrightarrow\ k=2$

Uji $h=-3$ dan $k=2$

$\overrightarrow{OC}=h\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}\$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{c}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{c}=\left(-3\right)\overrightarrow{a}+\left(2\right)\overrightarrow{b}$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{c}=\left(-3\right)\left(4,\ 7\right)+\left(2\right)\left(5,\ 3\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{c}=\left(\left(-3\right)\left(4\right),\ \left(-3\right)\left(7\right)\right)+\left(2\left(5\right),\ 2\left(3\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{c}=\left(-12,\ -21\right)+\left(10,\ 6\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{c}=\left(\left(-12+10\right),\ \left(-21+6\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{c}=\left(-2,\ -15\right)$ [Terbukti benar]

Jadi, nilai h dan k berturut-turut adalah -3 dan 2.

Pembahasan:

Diketahui:

$\overrightarrow{u}=\left(5,\ 2,\ -3\right)$

$\overrightarrow{v}=\left(2,\ 1,\ -2\right)$

Ditanya:

Proyeksi vektor ortogonal $\overrightarrow{u}$ pada $\overrightarrow{v}$ atau dilambangkan dengan $\overrightarrow{u}_{\overrightarrow{v}}=?$

Jawab:

Proyeksi vektor ortogonal $\overrightarrow{u}$ pada$\overrightarrow{v}$ dapat dinyatakan oleh

$\overrightarrow{u}_{\overrightarrow{v}}=\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{v}\right|^2}\cdot\overrightarrow{v}$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{u}_{\overrightarrow{v}}=\frac{\left(5,\ 2,\ -3\right)\cdot\left(2,\ 1,\ -2\right)}{\left(\sqrt{\left(2\right)^2+\left(1\right)^2+\left(-2\right)^2}\right)^2}\cdot\left(2,\ 1,\ -2\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{u}_{\overrightarrow{v}}=\frac{\left(5\right)\left(2\right)+\left(2\right)\left(1\right)+\left(-3\right)\left(-2\right)}{\left(\sqrt{4+1+4}\right)^2}\left(2,\ 1,\ -2\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{u}_{\overrightarrow{v}}=\frac{10+2+6}{\left(\sqrt{9}\right)^2}\left(2,\ 1,\ -2\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{u}_{\overrightarrow{v}}=\frac{18}{9}\left(2,\ 1,\ -2\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{u}_{\overrightarrow{v}}=2\left(2,\ 1,\ -2\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{u}_{\overrightarrow{v}}=\left(2\left(2\right),\ 2\left(1\right),\ 2\left(-2\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{u}_{\overrightarrow{v}}=\left(4,\ 2,\ -4\right)$

Jadi, proyeksi ortogonal vektor $\overrightarrow{u}$ pada $\overrightarrow{v}$ adalah $\left(4,\ 2,\ -4\right)$

Pembahasan:

Diketahui:

Misalkan sudut antara kedua vektor adalah $\theta.$

$r$ positif.

Ditanya:

$r=?$

Jawab:

Cosinus sudut antara dua vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut.

$\cos\theta=\frac{\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}$

Substitusikan nilai-nilai yang sudah diketahui.

$\Leftrightarrow\ \cos\ 60\degree=\frac{\left(1,\ 2,\ -r\right)\cdot\left(r,\ 1,\ -2\right)}{\sqrt{\left(1\right)^2+\left(2\right)^2+\left(-r\right)^2}\cdot\sqrt{\left(r\right)^2+\left(1\right)^2+\left(-2\right)^2}}$

$\Leftrightarrow\ \frac{1}{2}=\frac{\left(1\right)\left(r\right)+\left(2\right)\left(1\right)+\left(-r\right)\left(-2\right)}{\sqrt{1+4+r^2}\cdot\sqrt{r^2+1+4}}$

$\Leftrightarrow\ \frac{1}{2}=\frac{r+2+2r}{\sqrt{5+r^2}\cdot\sqrt{r^2+5}}$

$\Leftrightarrow\ \frac{1}{2}=\frac{3r+2}{r^2+5}$

Kali silang sehingga diperoleh

$\Leftrightarrow\ r^2+5=2\left(3r+2\right)$

$\Leftrightarrow\ r^2+5=6r+4$

$\Leftrightarrow\ r^2-6r+5-4=0$

$\Leftrightarrow\ r^2-6r+1=0$

Dari persamaan kuadrat di atas, dapat ditemukan hasil kali $r$ yang memenuhi dengan menggunakan teorema akar-akar persamaan kuadrat.

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat: $ax^2+bx+c=0$, maka

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$x_1x_2=\frac{c}{a}$

Sehingga dari $r^2-6r+1=0$

$a=1$

$b=-6$

$c=1$

maka,

$r_1r_2=\frac{c}{a}$

$\Leftrightarrow\ r_1r_2=\frac{1}{1}$

$\Leftrightarrow\ r_1r_2=1$

Jadi, hasil kali $r$ yang memenuhi adalah 1.

Pembahasan:

Diketahui:

$\overrightarrow{a}=-5\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}-8\overrightarrow{z}\Leftrightarrow\ \overrightarrow{a}=\left(-5,\ -1,\ -8\right)$

$\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}-2\overrightarrow{z}\Leftrightarrow\ \overrightarrow{b}=\left(-1,\ 1,\ -2\right)$

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{x}+m\overrightarrow{y}+n\overrightarrow{z}\Leftrightarrow\ \overrightarrow{c}=\left(1,\ m,\ n\right)$

$A,\ B,\ C$ segaris (kolinear)

Ditanya:

$m=?$

$n=?$

Jawab:

Jika tiga buah titik $A,\ B,$ dan $C$ segaris (kolinear), maka vektor yang dibentuk oleh dua dari tiga titik tersebut akan saling berkelipatan atau memiliki perbandingan.

$\overrightarrow{AB}=k\cdot\overrightarrow{BC}$

Dari koordinat titik yang diberikan, diperoleh:

$\overrightarrow{AB}=B-A=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(-1,\ 1,\ -2\right)-\left(-5,\ -1,\ -8\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(\left(-1-\left(-5\right)\right),\ \left(1-\left(-1\right)\right),\ \left(-2-\left(-8\right)\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(\left(-1+5\right),\ \left(1+1\right),\ \left(-2+8\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(4,\ 2,\ 6\right)$

$\overrightarrow{BC}=C-B=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(1,\ m,\ n\right)-\left(-1,\ 1,\ -2\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(\left(1-\left(-1\right)\right),\ \left(m-1\right),\ \left(n-\left(-2\right)\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(\left(1+1\right),\ \left(m-1\right),\ \left(n+2\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(2,\ \left(m-1\right),\ \left(n+2\right)\right)$

Dengan demikian,

$\overrightarrow{AB}=k\cdot\overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow\ \left(4,\ 2,\ 6\right)=k\cdot\left(2,\ \left(m-1\right),\ \left(n+2\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(4,\ 2,\ 6\right)=\left(2k,\ \left(m-1\right)k,\ \left(n+2\right)k\right)$

Perhatikan suku-suku yang bersesuaian sehingga diperoleh

$4=2k\ \Leftrightarrow\ k=2$

Substitusi $k=2$ sehingga

$\Leftrightarrow\ \left(4,\ 2,\ 6\right)=\left(2\left(2\right),\ \left(m-1\right)\left(2\right),\ \left(n+2\right)\left(2\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(4,\ 2,\ 6\right)=\left(4,\ \left(2m-2\right),\ \left(2n+4\right)\right)$, maka

$2m-2=2\ \Leftrightarrow\ 2m=4\ \Leftrightarrow m=2$

$2n+4=6\Leftrightarrow\ 2n=2\ \Leftrightarrow n=1$

Jadi, nilai $m$ dan $n$ berturut-turut adalah 2 dan 1.