Contoh Soal

Pembahasan:

Diketahui:

Jarak x_maks = 10 m

Sudut elevasi $\theta$ = 45^o

Percepatan gravitasi) g = 10 m/s²

Ditanya:

Kecepatan awal $v_0$ = ?

Jawab:

Kecepatan adalah jarak yang ditempuh oleh partikel tiap satuan waktu. Gerak parabola merupakan gerak suatu partikel yang secara serentak melakukan dua gerak lurus (GLB dan GLBB) yang saling tegak lurus. Gerak lurus beraturan terjadi pada sumbu-$X$ dan gerak lurus berubah beraturan terjadi pada sumbu-$Y$.

Dengan mensubstitusikan besaran pada masing-masing gerak, besarnya jarak maksimum yang ditempuh oleh benda yang mengalami lintasan parabola adalah

$x_{maks}=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}$, ingat materi trigonometri bahwa $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$

$x_{maks}=\frac{\left(v_0^2\right)\left(2\sin\theta\cos\theta\right)}{g}$

$10=\frac{\left(v_0^2\right)\left(2\sin45\cos45\right)}{10}$

$\left(10\right)\left(10\right)=\left(v_0^2\right)\left(2\sin45\cos45\right)$

$100=\left(v_0^2\right)\left(\left(2\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)\right)\$

$100=\left(v_0^2\right)\left(\left(2\right)\left(\frac{1}{4}\sqrt{4}\right)\right)\$

$100=\left(v_0^2\right)\left(\frac{1}{2}\left(2\right)\right)\$

$100=v_0^2\$

$\sqrt{100}=v_0\$

$10=v_0\$

Jadi, kecepatan awal yang harus diberikan pemain rugby adalah 10 m/s.

Pembahasan:

Diketahui:

Persamaan posisi $r\left(t\right)=\left(\left(6t-4t^2\right)i-\left(7+8t^2\right)j\right)$ m

Ditanya:

Persamaan kecepatan terhadap waktu $v\left(t\right)$ = ?

Jawab:

Kecepatan adalah perubahan posisi suatu partikel setiap selang waktu tertentu, $v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

Karena perubahan posisi dianggap sangat kecil, maka posisi diturunkan terhadap waktu dan persamaannya menjadi

$v=\frac{dr}{dt}$

$v\left(t\right)=\frac{dr\left(t\right)}{dt}$

$v\left(t\right)=\frac{d\left(\left(6t-4t^2\right)i-\left(7+8t^2\right)j\right)}{dt}$ *rumus turunan yaitu  (n adalah angka, t adalah variabel)

$v\left(t\right)=\left(6-8t\right)i-16t\ j$

Jadi, persamaan kecepatan terhadap waktu adalah $v\left(t\right)=\left(\left(6-8t\right)i-16t\ j\right)$ m/s.

Pembahasan:

Diketahui:

Ketinggian maksimum y_maks = 5 m

Sudut $\theta$ = 45^o

Percepatan gravitasi g = 10 m/s²

Ditanya:

Kecepatan awal $v_0=?$

Jawab:

Kecepatan adalah jarak yang ditempuh oleh partikel tiap satuan waktu. Gerak parabola merupakan gerak suatu partikel yang secara serentak melakukan dua gerak lurus (GLB dan GLBB) yang saling tegak lurus. Gerak lurus beraturan terjadi pada sumbu-$X$ dan gerak lurus berubah beraturan terjadi pada sumbu-$Y$.

Dengan mensubstitusikan besaran pada masing-masing gerak, besarnya tinggi maksimum yang ditempuh oleh benda yang mengalami lintasan parabola adalah

$y_{maks}=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}\$

$5=\frac{v_0^2\left(\sin^245\right)}{(2)(10)}\$

$\left(5\right)\left(20\right)=v_0^2\left(\sin45\sin45\right)\$

$100=v_0^2\left(\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)\right)\$

$100=v_0^2\left(\frac{1}{4}\sqrt{4}\right)\$

$100=v_0^2\left(\frac{1}{4}\left(2\right)\right)\$

$100=v_0^2\left(\frac{1}{2}\right)$

$\left(100\right)\left(2\right)=v_0^2$

$200=v_0^2$

$\sqrt{200}=v_0$

$10\sqrt{2}=v_0$

Jadi, kecepatan yang harus dilakukan singa adalah 10$\sqrt{2}$ m/s.

Pembahasan:

Diketahui:

Kecepatan komponen $x$ $v_x=\left(\left(3t^3-2t\right)i\right)$ m/s

Kecepatan komponen $y$ $v_y=\left(\left(5t^2-4\right)j\right)$ m/s

Waktu t = 5 s

Ditanya:

Persamaan percepatan saat 5 detik $a\left(5\right)$ = ?

Jawab:

Kecepatan adalah perubahan posisi suatu partikel tiap selang waktu tertentu

$v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

Karena perubahan posisi dianggap sangat kecil, maka posisi diturunkan terhadap waktu menjadi

$v=\frac{dr}{dt}$

Persamaan kecepatan dapat ditulis dengan menggabungkan komponen kecepatan $x$ dan $y$

$v\left(t\right)=v_x+v_y$

$v\left(t\right)=\left(3t^3-2t\right)i+\left(5t^2-4\right)j$

Dari persamaan kecepatan, kita dapat mencari persamaan percepatan. Percepatan adalah perubahan kecepatan suatu partikel tiap selang waktu tertentu. Karena perubahan kecepatan dianggap sangat kecil, maka kecepatan diturunkan terhadap waktu menjadi

$a\left(t\right)=\frac{dv}{dt}$

$a\left(t\right)=\frac{d\left(\left(3t^3-2t\right)i+\left(5t^2-4\right)j\right)}{dt}$

$a\left(t\right)=\left(\left(9t^2-2\right)i+\left(10t\right)j\right)$ m/s²

Persamaan percepatan pada saat 5 detik adalah

$a\left(t\right)=\left(9t^2-2\right)i+\left(10t\right)j$

$a\left(5\right)=\left(9\left(5\right)^2-2\right)i+\left(10\left(5\right)\right)j$

$a\left(5\right)=\left(225-2\right)i+\left(50\right)j$

$a\left(5\right)=\left(223i+50j\right)$ m/s²

Jadi, persamaan percepatan saat 5 detik adalah $\left(223i+50j\right)$ m/s².

Pembahasan:

Diketahui:

Posisi awal $r_0$ = (0 ; 0)

Komponen kecepatan $x$ $v_x=\left(\left(2t^2+5\right)i\right)$ m/s

Komponen kecepatan $y$ $v_y=\left(\left(7t\right)j\right)$ m/s

Waktu t = 2 s

Ditanya:

Besar posisi saat 2 detik $\left|r\right|=?$

Jawab:

Kecepatan adalah perubahan posisi suatu partikel tiap selang waktu tertentu.

$v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

Karena perubahan posisi dianggap sangat kecil, maka posisi diturunkan terhadap waktu menjadi

$v=\frac{dr}{dt}$

Selanjutnya, untuk mencari persamaan posisi, maka kita dapat menggunakan integral seperti berikut ini.

$dr=v\ dt\$

$\int_{r_0}^rdr=\int v\ dt\$

$r|_{r_0}^r=\int v\ dt\$

$r-r_0=\int v\ dt\$

$r=r_0+\int v\ dt\$

Komponen kecepatan pada soal di atas adalah

$v\left(t\right)=v_x+v_y$

$v\left(t\right)=\left(2t^2+5t\right)i+\left(7t\right)j$

Sehingga, persamaan posisinya adalah

$r(t)=r_0+\int v\left(t\right)\ dt$

$r(t)=0+\int\left(\left(2t^2+5\right)i+\left(7t\right)j\right)\ dt$

$r\left(t\right)=\left(\frac{2t^3}{3}+5t\right)i+\left(\frac{7t^2}{2}\right)j\$

Persamaan posisi pada saat 2 detik menjadi:

$r\left(t\right)=\left(\frac{2t^3}{3}+5t\right)i+\left(\frac{7t^2}{2}\right)j\$

$r\left(2\right)=\left(\frac{2\left(2\right)^3}{3}+5\left(2\right)\right)i+\left(\frac{7\left(2\right)^2}{2}\right)j\$

$r\left(2\right)=\left(\frac{\left(2\right)8}{3}+10\right)i+\left(14\right)j\ \$

$r\left(2\right)=\left(\frac{16}{3}+10\right)i+\left(14\right)j\ \$

$r\left(2\right)=\left(\frac{16+30}{3}\right)i+\left(14\right)j\ \$

$r\left(2\right)=\left(\frac{46}{3}\right)i+\left(14\right)j\ \$

$r\left(2\right)=\left(15,33\right)i+\left(14\right)j\ \$

Besar posisi saat 2 detik adalah

$\left|r\right|=\sqrt{r_x^2+r_y^2}$

$=\sqrt{15,33^2+14^2}$

$=\sqrt{235,0089+196}$

$=\sqrt{431,0089}$

$=20,8$ m

Jadi, besar posisi lebah saat 2 detik adalah 20,8 m.

Pembahasan:

Diketahui:

Kecepatan awal $v_0$ = 60 m/s

Kecepatan komponen y saat di titik A $v_{yA}$ = 15 m/s

Percepatan gravitasi g = 10 m/s²

Sudut bidang miring $\theta=30^o$

Ditanya:

Lebar parit x = ?

Jawab:

Gerak parabola merupakan gerak suatu partikel yang secara serentak melakukan dua gerak lurus (GLB dan GLBB) yang saling tegak lurus. Gerak lurus beraturan terjadi pada sumbu-$X$ dan gerak lurus berubah beraturan terjadi pada sumbu-$Y$.

1) Menentukan waktu tiba di titik A

Dengan mensubstitusikan besaran pada masing-masing gerak, besarnya kecepatan benda pada komponen $y$ yang mengalami lintasan parabola adalah

$v_y=v_{0y}-gt_A$

$v_{yA}=v_0\sin\theta-gt_A\$

$15=\left(60\right)\sin30-\left(10\right)t_A\$

$15=\left(60\right)\left(\frac{1}{2}\right)-\left(10\right)t_A\$

$15=30-10t_A$

$10t_A=30-15$

$10t_A=15$

$t_A=\frac{15}{10}$

$t_A=1,5$ s

2) Menentukan lebar parit $x$

Dengan mensubstitusikan besaran pada masing-masing gerak, lebar parit yang dilintasi oleh motor trail adalah

$x=v_{0x}t_A$

$=v_0\cos\theta\ \left(t_A\right)$

$=\left(60\right)\left(\cos30\right)\ \left(1,5\right)$

$=\left(60\right)\left(0,9\right)\ \left(1,5\right)$

$=81$ m

Jadi, lebar parit adalah 81 m.

Pembahasan:

Diketahui:

Kecepatan drone terhadap Doni $v_{dt}$ = 20 m/s

Kecepatan angin terhadap Doni $v_{at}$ = 10 km/jam

$v_{at}=\frac{10\text{ km}}{\text{jam}}=\frac{\left(10\right)\left(1.000\right)\ m}{3.600\text{ s}}=\frac{10.000\ \text{m}}{3.600\ \text{s}}=2,78$ m/s

Ditanya:

Kecepatan drone terhadap angin $v_{da}$ = ?

Jawab:

Kecepatan adalah perubahan posisi suatu partikel tiap satu satuan waktu.

Soal di atas termasuk dalam kategori kecepatan relatif, di mana kecepatan relatif adalah kecepatan yang dapat ditetapkan melalui sebuah acuan. Doni (diam) melihat drone miliknya terbang dengan kecepatan 20 m/s dan melihat kecepatan angin dengan kecepatan 2,78 m/s, akan tetapi berbeda halnya jika acuannnya diubah dari drone terhadap angin, maka lintasan drone akan berubah seperti gambar di bawah ini

Pada gambar tampak bahwa $v_{dt}$ bergerak lurus ke atas, $v_{at}$ bergerak ke arah kanan, dan $v_{da}$ mengalami penyimpangan dengan sudut tertentu karena pengaruh angin. Untuk mencari kecepatan drone terhadap angin dapat menggunakan persamaan resultan, karena bentuk lintasan ketiga kecepatan berbentuk segitiga

$v_{da}=\sqrt{v_{dt}^2+v_{at}^2}$

$v_{da}=\sqrt{20^2+2,78^2}$

$v_{da}=\sqrt{400+7,7284}$

$v_{da}=\sqrt{407,7284}$

$v_{da}=20,19\$m/s

Jadi, kecepatan drone terhadap angin adalah 20,19 m/s.

Pembahasan:

Diketahui:

Sudut lemparan Arman $\theta_A$ = 30^o

Sudut lemparan Midun $\theta_M$ = 60^o

Kecepatan awal Arman $v_{0A}$ = $v$

Ditanya:

Kecepatan awal Midun $v_{0M}$ = ?

Jawab:

Kecepatan adalah jarak yang ditempuh oleh partikel tiap satuan waktu. Gerak parabola merupakan gerak suatu partikel yang secara serentak melakukan dua gerak lurus (GLB dan GLBB) yang saling tegak lurus. Gerak lurus beraturan terjadi pada sumbu-$X$ dan gerak lurus berubah beraturan terjadi pada sumbu-$Y$.

Dengan mensubstitusikan besaran pada masing-masing gerak, besarnya jarak maksimum yang ditempuh oleh benda yang mengalami lintasan parabola adalah

$x_{maks}=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}$

Berdasarkan soal di atas, jarak terjauh Arman dan Midun adalah sama, sehingga

$x_{maksA}=x_{maksM}$

$\frac{v_{0A}^2\sin2\theta_A}{g}=\frac{v_{0M}^2\sin2\theta_M}{g}$

$v_{0A}^2\sin2\theta_A=v_{0M}^2\sin2\theta_M$

$v_0^2\sin2\left(30\right)=v_{0M}^2\sin2\left(60\right)$

$\left(v^2\right)\left(\sin60\right)=\left(v_{0M}^2\right)\left(\sin120\right)$

$\left(v^2\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)=\left(v_{0M}^2\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)$

$v^2=v_{0M}^2$

$\sqrt{v^2}=v_{0M}$

$v=v_{0M}$

Jadi, kecepatan lemparan Midun adalah sebesar $v$.

Pembahasan:

Diketahui:

Posisi $r\left(t\right)=\left(2t^2i-\left(4t^4-3t\right)j\right)$ m

Ditanya:

Percepatan $a\left(2\right)=?$

Kecepatan $v\left(0,5\right)=?$

Posisi $r\left(1\right)=?$

Kecepatan $v\left(3\right)=?$

Jawab:

Kecepatan adalah perubahan posisi sebuah partikel dalam selang waktu tertentu, $v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

Karena perubahan posisi $\Delta r$ dianggap sangat kecil, maka persamaan kecepatan menjadi

$v=\frac{dr}{dt}$, dengan $r\left(t\right)=2t^2i-\left(4t^4-3t\right)j$

Hasil penurunan posisi terhadap waktu menjadi:

$v\left(t\right)=\frac{d\left(2t^2i-\left(4t^4-3t\right)j\right)}{dt}$

$v\left(t\right)=\left(\left(4t\right)i-\left(16t^3-3\right)j\right)$ m/s

Hasil penurunan kecepatan terhadap waktu akan diperoleh persamaan percepatan sebagai berikut.

$a\left(t\right)=\frac{dv}{dt}$

$a\left(t\right)=\frac{d\left(\left(4t\right)i-\left(16t^3-3\right)j\right)}{dt}$

$a\left(t\right)=\left(4i-48t^2j\right)$ m/s²

1) Menentukan besar percepatan saat 2 detik dengan mensubstitusikan t ke dalam persamaan percepatan

$$$a\left(t\right)=4i-48t^2j\$

$a\left(2\right)=4i-48\left(2\right)^2j\$

$a\left(2\right)=4i-192j\$

Menentukan besar percepatan

$a=\sqrt{4^2+\left(-192\right)^2}$

$a=\sqrt{16+36.864}$

$a=\sqrt{36.880}$

$a=192,04\$ m/s²

2) Menentukan persamaan kecepatan saat 0,5 detik dengan mensubstitusikan t ke dalam persamaan kecepatan

$v\left(t\right)=\left(4t\right)i-\left(16t^3-3\right)j$

$v\left(0,5\right)=\left(4\left(0,5\right)\right)i-\left(16\left(0,5\right)^3-3\right)j$

$v\left(0,5\right)=\left(2\right)i-\left(2-3\right)j$

$v\left(0,5\right)=\left(2i+1j\right)$ m/s

3) Menentukan persamaan posisi pada saat 1 detik dengan mensubstitusi t ke dalam persamaan posisi

$r\left(t\right)=\left(2t^2\right)i-\left(4t^4-3t\right)j$

$r\left(1\right)=\left(2\left(1\right)^2\right)i-\left(4\left(1\right)^4-3\left(1\right)\right)j$

$r\left(1\right)=\left(2i-1j\right)$ m

4) Menentukan persamaan kecepatan saat 3 detik dengan mensubstitusi t ke dalam persamaan kecepatan

$v\left(t\right)=\left(4t\right)i-\left(16t^3-3\right)j$

$v\left(3\right)=\left(4\left(3\right)\right)i-\left(16\left(3\right)^3-3\right)j$

$v\left(3\right)=12i-\left(432-3\right)j$

$v\left(3\right)=\left(12i-429j\right)$ m/s

Jadi, pernyataan yang benar adalah nomor 1 dan 4.

Pembahasan:

Diketahui:

Tinggi maksimum $y$

Percepatan gravitasi $g$

Sudut $\theta$ = 53^o

Ditanya:

Kecepatan awal $v_0$ = ?

Jawab:

Kecepatan adalah jarak yang ditempuh oleh partikel tiap satuan waktu. Gerak parabola merupakan gerak suatu partikel yang secara serentak melakukan dua gerak lurus (GLB dan GLBB) yang saling tegak lurus. Gerak lurus beraturan terjadi pada sumbu-$X$ dan gerak lurus berubah beraturan terjadi pada sumbu-$Y$.

Dengan mensubstitusikan besaran pada masing-masing gerak, besarnya tingggi maksimum yang ditempuh oleh benda yang mengalami lintasan parabola adalah

$y_{maks}=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$

$y=\frac{v_0^2\sin^253}{2g}$

$\left(y\right)\left(2g\right)=v_0^2\sin^253$

$2yg=v_0^2\sin^253$

$\frac{2yg}{\sin53\sin53}=v_0^2\$

$\frac{2yg}{\left(0,8\right)\left(0,8\right)}=v_0^2\$

$\frac{2yg}{0,64}=v_0^2\$

$\sqrt{\frac{2yg}{0,64}}=v_0\$

$\frac{1}{0,8}\sqrt{2yg}=v_0\$

$\frac{\sqrt{2yg}}{0,8}=v_0\$

Jadi, kecepatan awal bola adalah $\frac{\sqrt{2yg}}{0,8}\$m/s.