Contoh Soal

Pembahasan:

Periode merupakan banyaknya waktu yang dibutuhkan untuk melakukan 1 getaran penuh. Pada kasus bandul, 1 getaran penuh adalah gerakan dari titik keseimbangan - titik maksimal - titik keseimbangan - titik maksimal - titik keseimbangan.

Jadi, jawaban yang memenuhi adalah A-B-C-B-A.

Pembahasan:

Periode merupakan banyaknya waktu yang dibutuhkan untuk melakukan 1 getaran penuh. Pada kasus bandul, 1 getaran penuh adalah gerakan dari titik keseimbangan - titik maksimal - titik keseimbangan - titik maksimal - titik keseimbangan. Secara keseluruhan untuk menyelesaikan 1 periode, gerak yang diperlukan pada bandul ini adalah gerakan B-C-B-A-B.

Jadi, gerakan B-C-B adalah gerakan $\frac{1}{2}$ periode.

Pembahasan:

Gerak harmonik merupakan salah satu bentuk gerakan yang terjadi berulang terhadap suatu titik keseimbangan. Terdapat dua jenis gerak harmonik, yaitu:

1. Gerak harmonik sederhana, gerak harmonik dengan asumsi benda yang bergerak memiliki amplitudo yang tetap.
2. Gerak harmonik kompleks, gerak harmonik dengan asumsi benda yang bergerak memiliki amplitudo yang berubah-ubah.

Jadi, pilihan yang bukan merupakan gerak harmonik sederhana adalah bandul yang bergerak diperlambat karena perlambatan pada gerak bandul akan menyebabkan amplitudo berkurang seiring waktu sehingga gerakan ini disebut gerak harmonik kompleks.

Pembahasan:

Gerak harmonik merupakan salah satu bentuk gerakan yang terjadi berulang terhadap suatu titik keseimbangan. Terdapat dua jenis gerak harmonik, yaitu:

1. Gerak harmonik sederhana, gerak harmonik dengan asumsi benda yang bergerak memiliki amplitudo yang tetap.
2. Gerak harmonik kompleks, gerak harmonik dengan asumsi benda yang bergerak memiliki amplitudo yang berubah-ubah.

Jadi, pilihan yang merupakan gerak harmonik sederhana adalah pemberat jam tua yang bergerak dengan amplitudo konstan karena amplitudo konstan merupakan ciri-ciri gerak harmonik sederhana.

Pembahasan:

Diketahui:

Frekuensi pegas awal $f_1$ = 50 Hz

Massa beban pengganti $m_2$ = $4m_1$

Ditanya:

Frekuensi pegas akhir $f_2$ = ?

Jawab:

Frekuensi merupakan banyaknya getaran yang terjadi setiap satuan waktu. Pada pegas, besarnya frekuensi dapat dicari melalui persamaan $f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ dimana $k$ merupakan konstanta pegas dan $m$ merupakan massa beban.

Sehingga berbandingan antara frekuensi dan massa beban dapat dinyatakan dalam hubungan

$\frac{f_1}{f_2}=\frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_2}}}$

$\frac{f_1}{f_2}=\sqrt{\frac{k}{m_1}\frac{m_2}{k}}$

$\frac{f_1}{f_2}=\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Dengan mengasumsikan $m_1$ = 1 kg,

$\frac{f_1}{f_2}=\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

$f_2=\frac{f_1}{\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}}$

Masukkan hubungan $m_2$ = $4m_1$

$f_2=\frac{f_1}{\sqrt{\frac{4m_1}{m_1}}}$

$=\frac{50}{\sqrt{\frac{4}{1}}}$

$=\frac{50}{\sqrt{4}}$

$=\frac{50}{2}$

$=25$ Hz

Jadi, frekuensinya menjadi 25 Hz.

Pembahasan:

Diketahui:

Besarnya waktu dari titik maksimal ke titik keseimbangan $t$ = 3 s.

Ditanya:

Periode ayunan $T$ = ?

Jawab:

Periode merupakan banyaknya waktu yang dibutuhkan untuk melakukan 1 getaran penuh. Pada kasus ayunan, 1 getaran penuh adalah gerakan dari titik keseimbangan - titik maksimal ke depan - titik keseimbangan - titik maksimal ke belakang - titik keseimbangan. Sehingga waktu dari titik maksimal ke titik keseimbangannya merupakan $\frac{1}{4}$ periode.

Sehingga besarnya periode

$T=4t$

$=4\left(3\right)$

$=12$

Jadi, besarnya periode ayunan adalah 12 s.

Pembahasan:

Diketahui:

Amplitudo = $A$

Kecepatan$$$$$$ $v\ =\ \frac{3}{5}v_{\text{maks}}$

Ditanya:

$y$ saat $v\ =\ \frac{3}{5}v_{\text{maks}}$ ?

Jawab:

Gerak harmonik sederhana merupakan gerak yang terjadi secara periodik (berulang pada suatu siklus). Disebut sederhana karena gerakan terjadi berulang-ulang tanpa berhenti (tidak ada peredaman). Bentuk dari gerak harmonik sederhana dapat dimodelkan dalam persamaan gerak harmonik sederhana:

$y=A\sin\left(\omega t\right)$

Apabila diturunkan satu kali, maka akan didapatkan persamaan kecepatan gerak harmonik sederhana:

$v=A\omega\cos\left(\omega t\right)$

Pertama-tama, cari terlebih dahulu berapa besar sudut yang dibentuk saat $v\ =\ \frac{3}{5}v_{\text{maks}}$

$v=A\omega\cos\left(\omega t\right)$

$\frac{3}{5}v_{\text{maks}}=A\omega\cos\left(\omega t\right)$

$\frac{3}{5}A\omega=A\omega\cos\left(\omega t\right)$

$\cos\left(\omega t\right)=\frac{3}{5}$

$\omega t=\arccos\left(\frac{3}{5}\right)=53\degree$

Lalu, cari simpangan yang dibentuk oleh sudut tersebut

$y=A\sin\left(\omega t\right)$

$=A\sin\left(53\degree\right)$

$=0,8A$ cm

Jadi, jawaban yang benar adalah 0,8$A$ cm.

Pembahasan:

Diketahui:

Persamaan gerak $y=20\sin\left(8\pi t\right)$ cm

Ditanya:

Frekuensi $f$ = ?

Periode $T$ = ?

Jawab:

Sebuah benda dikatakan memiliki gerakan harmonis apabila bergerak secara bolak-balik terhadap suatu titik keseimbangan. Gerakan harmonis dapat dimodelkan dalam persamaan matematis $y\ =A\sin\left(\omega t\right)$ dimana $A$ merupakan amplitudo dan $\omega$ merupakan kecepatan sudut yang bisa didapatkan melalui hubungan dengan frekuensi dan periode $\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$.

$y\ =A\sin\left(\omega t\right)$

$y=20\sin\left(8\pi t\right)$

Sehingga, untuk mencari frekuensi

$\omega=8\pi$

$2\pi f=8\pi$

$f=\frac{8\pi}{2\pi}$

$f=4$ Hz

dan periode

$\omega=8\pi$

$\frac{2\pi}{T}=8\pi$

$T=\frac{2\pi}{8\pi}$

$T=\frac{1}{4}$$=0,25$ s

Jadi, besarnya frekuensi adalah 4 Hz dan periode 0,25 s.

Pembahasan:

Diketahui:

Massa bandul $m$ = 500 g = 0,5 kg

Amplitudo $A$ = 2 cm = 0,02 m

Frekuensi getaran $f$ = 40 Hz

Simpangan $y$ = 0,5 cm = 0,005 m

Ditanya:

Energi mekanik saat $y$ = 0,5 cm, $EM$ = ?

Jawab:

Suatu benda membutuhkan energi untuk melakukan gerak. Energi yang berlaku pada gerak disebut energi mekanik yang terdiri dari energi kinetik ($EK=\frac{1}{2}mv^2$ ) dan energi potensial ($EP=mgh$ ). Pada gerak harmonik sederhana, berlaku $EM=EK+EP=\frac{1}{2}kA^2$ . Dimana $k$ adalah koefisien getaran ($k\ =\ m\omega^2$) dan $A$ amplitudo getaran. Energi mekanik nilainya akan selalu sama di setiap simpangan.

Sehingga untuk mendapatkan energi mekaniknya

$EM\ =\ \frac{1}{2}kA^2$

$=\frac{1}{2}m\omega^2A^2$

$=\frac{1}{2}m\left(2\pi f\right)^2A^2$

$=\frac{1}{2}m\left(4\pi^2f^2\right)A^2$

$=\frac{1}{2}\left(0,5\right)\left(4\times10\times40^2\right)\left(0,02^2\right)$

$=6,4\$J

Jadi, besar energi mekaniknya adalah sebesar 6,4 J

Pembahasan:

Diketahui:

Amplitudo $A$ = 10 m

Frekuensi $f$ = 2 Hz

Kecepatan linier $v_x$ = 25 m/s

Saat $t$ = 0 menit, $y$ = 0 m

Ditanya:

Resultan kecepatan sekoci saat $t$ = 4 s = ?

Jawab:

Pada persoalan ini, perahu sekoci mengalami gerak harmonik sekaligus gerak linier.

Gerak harmonik adalah gerakan secara bolak-balik terhadap suatu titik keseimbangan. Jarak terjauh dari titik keseimbangan disebut amplitudo ($A$) dan banyaknya siklus yang terjadi tiap sekonnya disebut frekuensi ($f$). Simpangan pada tiap waktu di gerak harmonik sederhana dapat dimodelkan dengan persamaan matematis $y=A\sin\left(\omega t\right)$ dimana $\omega=2\pi f$. Kecepatan simpangan pada gerak harmonik didapat melalui turunan persamaan simpangan yaitu $v_y=A\omega\cos\left(\omega t\right)$.

Gerak linier adalah gerakan sepanjang garis lurus. Jarak pada tiap waktu di gerak linier dapat dimodelkan dengan persamaan matematis $s=vt$. Pada gerak linier beraturan, kecepatan $v$ tidak berubah (konstan).

Pertama-tama, kita akan cari besarnya kecepatan vertikal perahu sekoci terlebih dahulu menggunakan persamaan kecepatan simpangan

$v_y=A\omega\cos\left(\omega t\right)$

$=A\left(2\pi f\right)\cos\left(2\pi ft\right)$

$=10\left(2\pi\left(2\right)\right)\cos\left(2\pi\left(2\right)t\right)$

$=40\pi\cos\left(4\pi t\right)$ m/s

Sehingga saat $t\ =\ 4$ s,

$v_y=40\pi\cos\left(4\pi\left(4\right)\right)$

$=40\pi\cos\left(16\pi\right)$

$=40\pi\left(1\right)$

$=40\pi$ m/s

Jadi, kecepatan vertikal perahu sekoci adalah sebesar $40\pi$ m/s.

Karena pada soal perahu sekoci bergerak linier dengan kecepatan konstan 25 m/s, maka kecepatan resultannya bisa didapatkan dengan persamaan pythagoras

$v_r=\sqrt{v_y^2+v_x^2}$

$=\sqrt{\left(40\pi\right)^2+\left(25^2\right)}$

$=\sqrt{40^2\pi^2+25^2}$

$=\sqrt{1.600\left(10\right)+625}$ (masukkan asumsi awal $\pi^2=10$)

$=\sqrt{16.000+625}$

$=\sqrt{16.625}$ m/s

Maka besarnya resultan kecepatan perahu adalah $\sqrt{16.625}$ m/s.