Contoh Soal

Pembahasan:

Diketahui:

Sudut 1 $\theta_1$ = 37^o

Sudut 2 $\theta_2$ = 80^o

Perubahan waktu $\Delta$t = 30 menit = $\left(30\right)\left(60\right)$ = 1.800 s * 1 menit = 60 s

Ditanya:

Kecepatan sudut rata-rata $\overline{\omega}$ = ?

Jawab:

Sudut masih dalam bentuk derajat, maka harus diubah ke satuan SI dengan mengalikan $\frac{2\pi}{360}$, karena

1 putaran = 360^o = 2$\pi$ rad

sehingga 1^o = $\frac{2\pi}{360}$

Sudut 1 $\theta_1$ = 37^o = $(\frac{37}{360})(2\pi)=0,205\pi$ rad

Sudut 2 $\theta_2$ = 80^o = $(\frac{80}{360})(2\pi)=0,444\pi$ rad

Kecepatan sudut rata-rata ($\overline{\omega}$) adalah perpindahan sudut yang dilalui setiap selang waktu, sehingga dirumuskan seperti persamaan di bawah ini.

$\overline{\omega}=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}$

$\overline{\omega}=\frac{\left(\theta_2-\theta_1\right)}{\Delta t}$ *$\Delta\theta$ adalah sudut akhir dikurangi dengan sudut awal.

$\overline{\omega}=\frac{\left(0,444\pi-0,205\pi\right)}{1.800}$

$\overline{\omega}=\frac{0,239\pi}{1.800}$

$\overline{\omega}=1,3\times10^{-4}\pi$ rad/s

Jadi, kecepatan sudut rata-rata titik tersebut adalah $1,3\pi\times10^{-4}$ rad/s.

Pembahasan:

Diketahui:

Kecepatan $v$ = 15 m/s

Waktu t = 20 s

Sudut awal $\theta_0$ = 2 rad

Jari-jari r = 10 cm = 0,1 m

Ditanya:

Sudut akhir $\theta_1$= ?

Jawab:

Sudut akhir $\theta_1$ berarti hasil penjumlahan besar sudut awal dengan besar sudut yang ditempuh kipas angin setelah bergerak dengan kecepatan sudut $\omega$ dalam waktu t. Untuk kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$. Jika ditulis dalam bentuk matematis, $v=\omega r$.

$\theta_1=\theta_0+\omega t$

$\theta_1=\theta_0+\frac{v}{r}t$

$\theta_1=2+\frac{15}{0,1}\left(20\right)$

$\theta_1=2+3.000$

$\theta_1=3.002$ rad

Jadi, besar sudut setelah 20 s adalah 3.002 rad.

Pembahasan:

Diketahui:

Sudut $\theta$ = 175^o

Waktu t = 5 menit = $\left(5\right)\left(60\ \text{s}\right)$ = 300 s

Ditanya:

Frekuensi) f = ?

Jawab:

Ubah sudut $\theta$ ke dalam radian terlebih dahulu

$360^o=2\pi\ \text{rad}$, maka $175^o=\frac{175}{360}\left(2\pi\ \text{rad}\right)=0,972\pi\ \text{rad}$

Kecepatan sudut adalah banyaknya putaran tiap satuan waktu ($\omega=\frac{\theta}{t}$). Jika meninjau hubungan kecepatan sudut dengan frekuensi, maka kecepatan sudut di sini merupakan hasil bagi sudut pusat yang ditempuh partikel dengan waktu tempuhnya ($\omega=\frac{2\pi}{T}$). Karena $\frac{1}{T}=f$, maka $\omega=2\pi f$.

Penyelesaiannya menjadi:

$\omega=2\pi f$

$\frac{\theta}{t}=2\pi f$

$\frac{0,972\pi}{300}=2\pi f$

$\frac{0,972}{600}=f\$

$1,62\times10^{-3}\text{Hz}\ =f\$

Jadi, frekuensi partikel adalah $1,62\times10^{-3}\$Hz.

Pembahasan:

Diketahui:

Kecepatan sudut A $\omega_A=\omega$

Kecepatan sudut B $\omega_B=3\omega_A=3\omega$

Jari-jari B $r_B=r$

Jari-jari A $r_A=2r_B=2r$

Ditanya:

Perbandingan percepatan sentripetal cakram A dengan cakram B $a_{\text{s,A}}:a_{\text{s,B}}=?$

Jawab:

Percepatan sentripetal adalah percepatan yang selalu tegak lurus terhadap kecepatan liniernya dan mengarah ke pusat lingkaran.

$a_{\text{s}}=\omega^2r$

Perbandingan percepatan sentripetal cakram A dengan cakram B adalah:

$\frac{a_{\text{s,A}}}{a_{\text{s,B}}}=\frac{\omega_{\text{A}}^2r_{\text{A}}}{\omega_{\text{B}}^2r_{\text{B}}}$

$\frac{a_{\text{s,A}}}{a_{\text{s,B}}}=\frac{\omega^2\left(2r\right)}{\left(3\omega\right)^2r}$

$\frac{a_{\text{s,A}}}{a_{\text{s,B}}}=\frac{2\omega^2r}{9\omega^2r}$

$\frac{a_{\text{s,A}}}{a_{\text{s,B}}}=\frac{2}{9}$

Jadi, perbandingan percepatan sentripetal cakram A dengan cakram B adalah 2 : 9.

Pembahasan:

Diketahui:

Banyaknya putaran n = 50

Waktu t = 1 menit = 60 s

Massa sepeda m_s = 12 kg

Massa Faisal m_f = 60 kg

Diameter gir d = 24 cm = 0,24 m

Jari-jari gir r = 0,12 m

Ditanya:

Energi E = ?

Jawab:

1) Mencari $\omega$

Kecepatan sudut adalah banyaknya putaran tiap satuan waktu ($\omega=\frac{\theta}{t}$). Jika meninjau hubungan kecepatan sudut dengan frekuensi, maka kecepatan sudut di sini merupakan hasil bagi sudut pusat yang ditempuh partikel dengan waktu tempuhnya ($\omega=\frac{2\pi}{T}$). Karena $\frac{1}{T}=f$, maka $\omega=2\pi f$. Frekuensi sendiri merupakan banyaknya putaran yang terjadi tiap satuan waktu, $f=\frac{n}{t}$.

Penyelesaiannya menjadi:

$\omega=2\pi f$

$\omega=2\pi\left(\frac{n}{t}\right)$

$\omega=2\pi\left(\frac{50}{60}\right)$

$\omega=\frac{5}{3}\pi$

2) Mencari E

Kasus pada soal meninjau sebuah benda yang bergerak, sehingga energi yang dicari adalah energi kinetik, di mana massanya merupakan gabungan massa Faisal dan sepedanya.

$m=m_f+m_s=60+12\ =72\ \text{}$kg

$E=\frac{1}{2}mv^2$

$E=\frac{1}{2}m\left(\omega r\right)^2$

$E=\frac{1}{2}\left(72\right)\left(\left(\frac{5}{3}\pi\right)\left(0,12\right)\right)^2$

$E=\frac{1}{2}\left(72\right)\left(0,2\pi\right)^2$

$E=\frac{1}{2}\left(72\right)\left(0,04\pi^2\right)$

$E=1,44\pi^2$ J

Jadi, energi yang dihasilkan saat 1 menit mengayuh sepeda adalah $1,44\pi^2$ J.

Pembahasan:

Diketahui:

Waktu shuriken Boruto $t_B=t$

Waktu shuriken Himawari $t_H=t-2$

Kecepatan shuriken Himawari $v_H$

Kecepatan shuriken Boruto $v_B=3v_H$

Ditanya:

Perbandingan sudut shuriken Himawari dan Boruto $\frac{\theta_H}{\theta_B}$ = ?

Jawab:

Pada kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$. Jika ditulis dalam bentuk matematis, $v=\omega r$. Kecepatan sudut adalah banyaknya putaran tiap satuan waktu, $\omega=\frac{\theta}{t}$.

Penyelesaiannya menjadi:

Karena shuriken dianggap identik, maka jari-jari keduanya sama

$r_B=r_H$

$\frac{v_B}{\omega_B}=\frac{v_H}{\omega_H}$

$\frac{v_B}{\frac{\theta_B}{t_B}}=\frac{v_H}{\frac{\theta_H}{t_H}}$

$\frac{v_B}{\theta_B}t_B=\frac{v_H}{\theta_H}t_H$

$\frac{3v_H}{\theta_B}t=\frac{v_H}{\theta_H}\left(t-2\right)$

$\frac{3t}{\theta_B}=\frac{\left(t-2\right)}{\theta_H}$

$\frac{\theta_H}{\theta_B}=\frac{\left(t-2\right)}{3t}$

Jadi, perbandingan sudut shuriken Himawari dan Boruto adalah $\frac{\theta_H}{\theta_B}=\frac{\left(t-2\right)}{3t}$.

Pembahasan:

Diketahui:

Diameter d = 20 cm

Jari-jari r = 10 cm = 0,1 m

Waktu t = 0,1 s

Massa m = 200 g = 0,2 kg

Kecepatan sudut 1 $\omega_1=\ \omega$

Kecepatan sudut 2 $\omega_2=\ \frac{5}{6}\omega$

$Ft=m\left(v_2-v_!\right)$

Ditanya:

Gaya sentuh dan arah F = ?

Jawab:

Untuk kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$. Jika ditulis dalam bentuk matematis, $v=\omega r$. Seperti yang telah diketahui pada soal, gaya sentuh $F$ dapat dicari dengan menggunakan persamaan:

$Ft=\ m\left(v_2-v_1\right)$

$Ft=m\left(-\omega_2\ r-\omega_1r\right)$ $\rightarrow$Nilai $\omega_2$ negatif karena berlawanan arah dengan $\omega_1$

$F\left(0,1\right)=0,2\left(\left(-\frac{5}{6}\right)\omega r-\omega r\right)$

$F\left(0,1\right)=0,2\left(-\frac{5-6}{6}\omega r\right)$

$F\left(0,1\right)=0,2\left(-\frac{11}{6}\omega r\right)$

$F=2\left(-\frac{11}{6}\omega\left(0,1\right)\right)$

$F=-0,36\omega$ N $\rightarrow$ ($-$) berlawanan arah

Jadi, gaya sentuh bola dan tembok adalah $0,36\omega$ N berlawanan arah semula.

Pembahasan:

Diketahui:

Diameter motor d_m = 50 cm = 0,5 m

Jari-jari motor r_m = 0,25 m

Diameter becak d_b = 80 cm = 0,8 m

Jari-jari becak r_b = 0,4 m

Waktu motor t_m = t_b =t = 1 menit

Banyaknya putaran roda motor n_m = 5

Banyaknya putaran roda becak n_b = 3

Ditanya:

Perbandingan kecepatan $v_m\ :\ v_b$ = ?

Jawab:

Untuk kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$. Jika ditulis dalam bentuk matematis, $v=\omega r$. Kecepatan sudut ($\omega$) adalah hasil bagi sudut pusat yang ditempuh partikel dengan waktu tempuhnya, $\omega=\frac{2\pi}{T}$. Karena $\frac{1}{T}=f$, maka persamaannya menjadi $\omega=2\pi f$, di mana frekuensi adalah banyaknya putaran setiap waktu, $f=\frac{n}{t}$.

Menentukan perbandingan $v_m:\ v_b$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{\omega_m r_m}{\omega_b r_b}$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{2\pi\ f_m\ r_m}{2\pi\ f_b\ r_b}$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{f_m\ r_m}{\ f_b\ r_b}\$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{\left(\frac{n_m}{t}\right)\ r_m}{\ \left(\frac{n_b}{t}\right)\ r_b}\$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{n_m\ r_m}{\ n_b\ r_b}\$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{\left(5\right)\left(0,25\right)}{\ \left(3\right)\left(0,4\right)}\$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{1,25}{\ 1,2}\ =\frac{125}{120}=\frac{25}{24}$

25 : 24

Jadi, perbandingan antara $v_{m\ }:\ v_b$ adalah 25 : 24.

Pembahasan:

Diketahui:

Kecepatan sudut bandul sebelum mengenai adik Fauzi $\omega_1$ = 20 rpm

Kecepatan sudut bandul setelah mengenai adik Fauzi $\omega_2$ = 5 rpm

Massa m = 100 g = 0,1 kg

Jari-jari r = 20 cm = 0,2 m

Ditanya:

Perbandingan kecepatan bandul sebelum dan sesudah mengenai adik Fauzi

$v_1\ :\ v_2\$ = ?

Jawab:

1 rotasi = 2$\pi$ rad

1 menit = 60 s

$\omega_1$ = 20 rpm = 20 rotasi/menit = $\frac{20\ \text{rotasi}}{\text{menit}\ }$ = $\frac{\left(20\right)\left(2\pi\right)\text{rad}}{60\ \text{s}\ }$ =$\frac{40}{60}\pi$ rad/s = $\frac{2}{3}\pi$ rad/s

$\omega_2$ = 5 rpm = 5 rotasi/menit = $\frac{5\ \text{rotasi}}{\text{menit}\ }$ = $\frac{\left(5\right)\left(2\pi\right)\text{rad}}{\text{60 s}\ }$ = $\frac{10\pi}{60}$ rad/s = $\frac{1}{6}\pi$ rad/s

Untuk kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$. Jika ditulis dalam bentuk matematis, $v=\omega r$. Kemudian untuk menentukan kecepatan bandul sebelum dan sesudah menganai adik Fauzi, dimana $v_1\$adalah kecepatan sebelum benturan dan $v_2\$kecepatan setelah benturan, maka persamaannya

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{\omega_1r_1}{\omega_2r_2}$

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{\frac{2}{3}\pi\left(0,2\right)}{\frac{1}{6}\pi\left(0,2\right)}$

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{6}}$

$\frac{v_1}{v_2}=\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{6}{1}\right)$

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{12}{3}$

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{4}{1}$

Jadi, perbandingan kecepatan linear bandul sebelum dan setelah terbentur adalah 4 : 1.

Pembahasan:

Diketahui:

Kecepatan sudut $\omega=4.200\ \text{rpm}$

Ditanya:

Frekuensi f = ?

Jawab:

Kecepatan sudut $\omega=4.200\ \text{rpm}$ (rotasi per menit)

$4.200\ \text{rpm}\ =4.200\ \text{putaran/menit}$

$=\frac{4.200\ \text{putaran}}{60\ \text{s}}$

Karena 1 putaran $=2\pi\ \text{rad}\$, maka:

$\omega=\frac{\left(4.200\right)\left(2\pi\right)\ \text{rad}}{60\ \text{s}}$

$=140\ \pi\ \text{rad/s}$

Kecepatan sudut ($\omega$) adalah hasil bagi sudut pusat yang ditempuh partikel dengan waktu tempuhnya.

$\omega=\frac{2\pi}{T}$, karena $\frac{1}{T}=f$, maka persamaannya menjadi:

$\omega=2\pi f$

$140\pi=2\pi f$

$f=\frac{140\pi}{2\pi}$

$f=70$ Hz

Jadi, frekuensi baling-baling helikopter adalah 70 Hz.